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Vetores

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Teoria

Nem todo engenheiro gosta de Física. Nem todo o engenheiro gosta de Geometria Analítica. Mas todos os engenheiros, assim como nossos amigos físicos, químicos e matemáticos, tem que aprender e saber TUDO sobre vetores. Nós somos o RespondeAí e temos todo o conteúdo do ciclo básico do seu curso de Engenharia, de Matemática, ou de Física bem aqui!

Nessa página estaremos interessados em falar sobre Vetores, e apesar deles estarem muito presentes na Física, estaremos mais interessados em nos aprofundar nas utilizações que os vetores tem na Álgebra Linear e na Geometria Analítica. Mas antes vamos falar dos vetores em si.

O que são vetores?

Vetores são classicamente considerados setas, isso porque um vetor tem 3 caracterísitcas fundamentais, que são necessárias para que ele exista, são elas: módulo, direção e sentido.

  • O módulo nos diz o tamanho desse vetor, ou seja, o comprimento dele.
  • A direção, está relacionada, com a orientação do vetor, se ele está na horizontal, na vertical, ou inclinado.
  • E o sentido aponta, para qual lado o vetor está orientado, para a direita, para a esquerda, para cima e para direita,...

E como nós representamos um vetor? Um vetor pode ser representado, por um par de pontos no por exemplo, ou no caso do por . Então vamos ver um exemplo.

Imagine o vetor do :

Para cálcular o módulo desse vetor, teríamos que aplicar algo parecido com um teorema de pitágoras, seria:

Logo:

Então o vetor tem um comprimento de , sacou a diferença entre as notações? Quando escrevemos estamos falando das coordenadas do ponto que representa esse vetor, já quando escrevemos estamos falando do módulo daquele vetor, ou seja, seu comprimento.

O mais legal na álgebra é que podemos, somar e subtrair vetores de uma mesma ordem. Como exemplo, podemos dizer que e , podemos dizer que:

E agora temos que fazer as operações para cada coordenada individualmente:

Outra coisa interessante que podemos descobrir facilmente apenas pensando nas coordenadas de um vetor, é verificar se dois vetores são, ou não paralelos. Olha só, imagina o vetor e o vetor .

Apesar de eu não saber logo de cara para qual direção e sentido eles apontam, eu posse verificar que com dois vetores eu consigo escrever o vetor , repare:

Isso quer dizer que a única coisa que diferencia esses cara é uma constante, que no nosso exemplo vale 2 e por isso posso escrever que:

Olha esses dois vetores desenhados em um gráfico:

Então realmente podemos verificar que com dois vetores (vermelho) fazemos um vetor (azul), e que eles realmente são paralelos. Ou seja, sempre que eu tiver um caso em que eu possa escrever um vetor em função do outro multiplicado por um constante, podemos dizer que esses dois vetores são paralelos:

Vamos fazer um exercício para deixar bem claro, tudo sobre vetores?

Exercício

Acompanhe aqui um vídeo de um exercício sobre vetores, com menos de 10 minutinhos, e com a resolução Passo a Passo, que é o método utilizado em todo o RespondeAi!

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule o módulo do vetor v → = (2, 6, 3).

Passo 1

Opa!! Vamos calcular o módulo do vetor (2, 6, 3), que vai ser:

v → =   2 2 + 6 2 + 3 2

v → =   49 = 7

Resposta

v → = 7

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Dado que v → = (2, y, 1) e v → = 3 , calcule y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz para gente que v → = 3 e nos dá suas coordenadas v → = (2, y, 1). A gente precisa encontrar a segunda coordenada, ou seja, y .

Pra isso precisamos de uma fórmula que relacione o módulo do vetor e suas coordenadas. Lembra qual é?

Vimos que o módulo do vetor pode ser calculado assim:

v → =   x 2 + y 2 + z 2

O valor de v → , x e z nós já temos né? Então é só substituirmos pra encontrar y :)

Passo 2

Substituindo os valores que já temos:

3 =   2 2 + y 2 + 1 2

        4 + y 2 + 1 = 3

  y 2 + 5 = 3

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, temos

  y 2 + 5   = 9

y 2 = 4

y = 2   o u   y =   - 2

Resposta

    y = 2   o u   y =   - 2

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 35-6.

Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores u → = ( m + 1 ,   3 ,   1 ) e v → = ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 ) .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores: v → e u → . Mas, as coordenadas desses vetores dependem de duas variáveis, m e n , que devemos determinar. Mas com que condição?

Com a condição de que os vetores u → e v → sejam paralelos. Ué, mas o que isso me ajuda?

Ajuda, pois vimos na teoria que dois vetores são paralelos se são múltiplos entre si. Não lembra? Assim oh,

u → = k v →

Lembrou?

Passo 2

Então, temos:

m + 1 ,   3 ,   1 = k ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 )  

Multiplicando k por cada coordenada:

m + 1 ,   3 ,   1 = ( 4 k ,   2 k ,   k 2 n - 1 )

Agora é o seguinte, como esses vetores são paralelos, pra algum valor de k eles vão ser iguais, então vamos igualar as coordenadas uma a uma, ou seja, a primeira coordenada do lado esquerdo deve ser igual a primeira coordenada do lado direito e por aí vai hehe isso vai nos dar o seguinte:

m + 1 = 4 k 3 = 2 k 1 = k ( 2 n - 1 )

Passo 3

Bom, temos três expressões para 3 incógnitas. Agora, é resolver. Da segunda equação:

3 = 2 k

k = 3 2

Substituindo k na primeira equação:

m + 1 = 4.3 2

m + 1 = 6

m = 5

Substituindo k na terceira equação:

1 = 3 2 2 n - 1

2 n - 1 = 2 3

2 n = 5 3

n = 5 6

Aeee, encontramos os valores de m e n pros vetores serem paralelos :D

Lembrando que como k = 3 2 , isso quer dizer que se substituirmos esse valor de k , os vetores vão ser iguais. Mas se k for qualquer múltiplo de 3 2 (como 6 4 ), os vetores continuam sendo paralelos, mas com comprimentos diferentes ;)

Resposta

m = 5   e   n = 5 6

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 37-1.

Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v → = ( 2 ,   - 5 ) , sabendo que sua origem é o ponto A ( - 1 ,   3 ) .

Passo 1

Bom, temos um vetor v → que nos é dado. Esse vetor ele é formado por dois pontos, um que é a origem e outro q é seu outro extremo, como vimos todo o vetor é assim. Assim, foi nos dado o ponto que é a origem e devemos descobrir qual o outro ponto. Sacou?

Passo 2

Pela teoria sabemos que se temos um vetor v → e ele tem como extremidades os pontos A   e   B , então é como se tivéssemos:

v → = A B →   o u   v → = B A →

No nosso caso é A B → ou B A → , ou tanto faz?

Vimos que cada vetor tem um sentido. E esse sentido ele é determinado pela origem, então se o enunciado nos deu que a origem é A , temos que v → = A B → .

Passo 3

Beleza! Já sabemos que nosso vetor é v → = A B → . Mas, essa igualdade pode ser escrita como uma diferença entre pontos.

v → = A B → = B - A

Temos v →   e   A , então conseguimos achar B que vamos supor ser B = ( x , y ) . Igualando o que temos:

v → = A B → → 2 ,   - 5 = x , y - ( - 1 ,   3 )

2 = x + 1 → x = 1

- 5 = y - 3 → y = - 2

B = ( 1 ,   - 2 )

Resposta

B = ( 1 ,   - 2 )

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 34-5.

Dados os pontos P 1 ,   2 ,   4 ,   Q ( 2 ,   3 ,   2 ) e R ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , determinar as coordenadas de um ponto S tal que os vetores R P → e S Q → sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado nos dá 3 pontos: P ,   Q   e   R . E queremos descobrir as coordenadas do ponto S . Mas, como vou achar esse ponto? Qual a condição?

Bom, a condição é a de que os vetores R P → e S Q → sejam paralelos.

Passo 2

Por onde começamos?

Vamos analisar a figura abaixo e alguns conhecimentos que temos sobre vetores paralelos

R P → ∥ S Q →

Pelo o que vimos na teoria sabemos que quando dois vetores são paralelos temos a seguinte relação:

R P → = k S Q →

Passo 3

Então, agora temos os pontos R   e   P para determinar o vetor R P → . Vamos considerar que o ponto S é S = ( x ,   y ,   z ) , como temos o Q conseguimos calcular o vetor S Q → .

Fazendo as contas temos:

R P → = P - R = 1 ,   2 ,   4 - 2 ,   1 ,   - 1 = ( - 1 ,   1 ,   5 )

S Q → = Q - S = 2 ,   3 ,   2 - x ,   y ,   z = ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

Utilizando a relação R P → = k S Q → , igualando as coordenadas temos:

R P → = k S Q → →   - 1 ,   1 ,   5 = k ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

- 1 = k ( 2 - x )

1 = k ( 3 - y )

5 = k ( 2 - z )

Como o k é uma constante de proporcionalidade que garante que os vetores sejam paralelos e queremos apenas garantir que sejam paralelos, então, podemos escolher qualquer valor de k , pois para k ≠ 0 os vetores irão possuir a mesma direção . Assim, vamos considerar k = 1 , por facilidade das contas:

- 1 = 2 - x → x = 3

1 = 3 - y → y = 2

5 = 2 - z → z = - 3

Pronto, chegamos no resultado!!!

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Você deve estar, talvez, se perguntando: E seu alterar os vértices de lugar, muda algo?

Muda sim, o raciocínio é o mesmo, mas as coordenadas do ponto S podem se alterar.

Resposta

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 41-2.

Sabendo que a distância entre os pontos A ( - 1 ,   2 ,   3 ) e B 1 ,   - 1 ,   m é 7 , calcular m .

Passo 1

Devemos determinar o valor de m para que a distância entre os pontos seja 7 .

Passo 2

Pela teoria, sabemos que a distância entre dois pontos é o módulo do vetor formado por esses pontos. Não se lembra disso? ? Então, vamos relembrar!!!

Primeiro, o vetor formado pelos pontos A e B pode ser: A B → ou B A → . Nesse caso, como queremos calcular o módulo, tanto faz qual vetor escolheremos, pois a diferença entre eles é o sentido. Vou escolher A B → .

A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   m - - 1 ,   2 ,   3 →   A B → = ( 2 ,   - 3 ,   m - 3 )

A distância deve ser 7, ou seja, o módulo do vetor A B → deve valer 7.

A B → = 7

Passo 3

Para achar m devemos calcular o módulo de A B → = ( 2 ,   - 3 ,   m - 3 ) .

A B → = 2 2 + ( - 3 ) 2 + ( m - 3 ) 2 = 7

2 2 + ( - 3 ) 2 + ( m - 3 ) 2 = 7 2

4 + 9 + m - 3 2 = 49 →   m - 3 2 = 36

m - 3 = ± 36

m = 3 ± 6

Resposta

m = 9 ou m = - 3

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 91-11.

Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e B ( - 2 ,   1 ,   - 1 ) .

Passo 1

O enunciado nos dá como informação que devemos achar um ponto P que esteja no eixo das abscissas (eixo x ), podemos já concluir que as coordenas y e z desse ponto são ZERO. A segunda informação é que o ponto P deve ter a mesma distância (equidistante) entre os ponto A   e   P , e os pontos B   e   P . Assim, temos:

Dados: P = ( x , 0 ,   0 ) e A P → = | B P → |

Passo 2

Para acharmos o ponto P , basta encontrarmos A P → , | B P → | e igualar.

A P → = P - A = x ,   0 ,   0 - 2 ,   - 3 ,   1 = ( x - 2 ,   3 ,   - 1 )

B P → = P - B = x ,   0 ,   0 - - 2 ,   1 ,   - 1 = ( x + 2 ,   - 1 ,   1 )

Passo 3

Igualando,

A P → = B P → →   ( x - 2 ) 2 + 3 2 + ( - 1 ) 2 = ( x + 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2

( x - 2 ) 2 + 9 + 1 = ( x + 2 ) 2 + 1 + 1

x 2 - 4 x + 4 + 10 = x 2 + 4 x + 4 + 2

8 x = 8 →     x = 1

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Resposta

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Exercícios de Livros Relacionados

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Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
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(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B