O exercício nos deu o desenho dos dois vetores que devemos considerar. Com esse desenho devemos realizar operações entre vetores. Aqui, como foi nos pedido devemos desenhar os vetores.

1. Temos que achar o vetor que é

Para resolver esse item, temos que lembrar que , ou seja, o vetor no sentido oposto.



Podemos também transladar o vetor sem mudar o módulo, e sentido do vetor:



Dessa forma, podemos fazer a soma de vetores:



Prontinho, conseguimos o vetor , seguimos os seguintes passos:



Passo 3

2. Agora, o vetor a ser encontrado é

Da mesma forma do item (a), vamos transladar o vetor e encontrar o vetor :



Agora podemos encontrar a soma de vetores:



Passo 4

3. Próximo vetor:

Primeiro vamos encontrar o vetor e :



Agora podemos encontrar a soma de vetores:



Passo 5

4. Desenhar

Até então, estávamos usando a proporção dos quadrados , mas como a figura ficaria muito grande fizemos que quadriculado equivale a .

Primeiro, vamos encontrar os vetores para soma :

Podemos transladar o vetor para a esquerda para podermos encontrar a soma mais facilmente:

Show de bola?!

O enunciado nos diz que o ângulo entre os vetores e é de . Então, temos que:

Queremos determinar,a gora, o ângulo entre diferentes vetores. Para isso, vamos utilizar o método das figuras, ou seja, vamos desenhar os vetores, para achar os ângulos.

1. O primeiro ângulo, é entre os vetores e



Passo 2

2. Próximo ângulo é entre e



Passo 3

3. Ângulo entre os vetores e



Passo 4

4. Ângulo entre e

Opa!! Agora o exercício ficou um pouco diferente!! Não é preciso desenhar para conseguirmos chegar no resultado, pois os vetores são dados na base cartesiana.

Então, é só somarmos as coordenadas!!

Bom, o problema nos dá um vetor que é combinação linear, ou seja, é a soma de dois outros vetores: . Mas, ele não quer saber quem é , pois sabemos quem é . O problema quer os valores das constante , para que o vetor possa ser uma combinação linear dos outros dois vetores.

Então, vamos colocar na expressão os dados que o enunciado nos deu:

Essa, expressão é uma operação entre vetores. Então, vamos somar as componentes correspondentes e depois igualar, beleza?

Vamos lá, então!

Dá expressão acima, temos duas expressões igualando os lados com as coordenadas.

Agora, é só resolver esse sisteminha de equações, que chegamos em:

Bom, nesse problema temos uma expressão, e nela temos o vetor que queremos descobrir.

Como não sabemos quem é vamos supor que ele é:

Supondo o vamos colocá-lo na expressão que nos é dada:

Pronto, se avaliarmos essa expressão é como se tivéssemos uma soma de vetores sendo igual a outra soma de vetores. Então, como estamos trabalhando com vetores, podemos fazer o mesmo que fizemos na questão anterior, somar componente a componente e depois igualar.

Então teremos,

Igualando os lados com as respectivas coordenadas:

Temos que:

Temos como dados 3 pontos: . Sendo que o ponto possui incógnitas nas suas coordenas e devemos determina-las. Para determinar devemos forçar os pontos a serem colineares.

Bom, pela teoria, sabemos que dois vetores são colineares quando estão na mesma direção, estando sobre a mesma reta ou paralelos. Vamos representar na mesma reta:

Então, como pela teoria temos que dois vetores são colineares ou paralelos se são múltiplos entre si, então temos que:

Poderíamos, ter escolhido outros vetores que o resultado não se alteraria.

Só precisamos então determinar os vetores e igualar as coordenadas.

Agora, só igualar:

Determinado , conseguimos descobrir .

Nesse problema, nos é dado pontos. Precisamos determinar a diferença entre vetores.

Como vimos na teoria, quando temos as coordenadas, dadas no plano cartesiano, não precisamos ficar desenhando os vetores como fizemos nos primeiros exercícios do capítulo. Basta, calcular os vetores e para realizar a operação entre eles é só realizar coordenada a coordenada. Achou confuso? Então, vamos devagar!

Primeiro vamos calcular todos os vetores que vamos precisar, que são: e . Mas, pera!! Os pontos dados foram , quem é o ?

O indica a origem do plano cartesiano, vamos dizer, que é uma convenção. Assim, sempre que você ver você já sabe que é o ponto ;).

Sabendo disso, agora conseguimos calcular todos os vetores.

Vamos começar, que não são poucos hehe.

Pronto agora já temos todos os vetores! É só começar a encontrar os vetores pedidos. O primeiro é

O segundo é

O último

Nos é dado uma igualdade de vetores, e pontos. Sendo que os vetores dependem desses pontos. Mas, falta o ponto que é o que queremos determinar.

Dados: Pontos

O ponto é uma suposição apenas.

A igualdade possui dois vetores: . Mas, quem são esses vetores, suas coordenadas?

Pela teoria vimos que esses vetores são a subtração de seus pontos extremos, então temos que:

Agora que já temos os vetores que precisamos, é só usar a igualdade que nos foi dada.

Igualando as coordenadas correspondentes, temos:

Então,

Show! O enunciado já deu para gente os vetores   e  , então é só substituir em

Bom, primeiro precisamos descobrir quem é . Felizmente, sabemos que um vetor é definido pela subtração de suas coordenadas finais (no nosso caso é o ponto ) com suas coordenadas iniciais (no nosso caso é o ponto ).

Fazendo :

Logo,  

Agora que já descobrimos quem é , podemos usar a informação “”, dada no enunciado, para achar !

Como queremos que ,