Produto Misto

Essa notação ela não é tão convencional, mas também é utilizada para indicar um produto misto. Então, temos que:

Sendo que nos foram fornecidos os três vetores comas suas coordenadas

Como vimos na teoria calcular o produto misto é na verdade calcular um determinante de uma matriz sendo que cada linha da matriz representa um dos vetores, e cada coluna uma das componentes, como a seguir:

Agora é calcular o determinante.

Neste problema nos é dado três vetores e a pergunta é se esses três vetores são coplanares.

Como eu sei se são coplanares? Ou melhor o que são coplanares? já me esqueci!!

Calma!! Vamos recordar rapidinho!!

Da teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” vimos que vetores coplanares são aqueles que estão no mesmo plano. Relembrou?!

E sabemos da teoria do produto misto que o valor do produto misto entre os vetores corresponde ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores. Okay, isso eu sei, mas o que isso me ajuda?

Ajuda de que se os três vetores são coplanares, então, não tem como formar um paralelepípedo e logo o volume é ZERO.

Ahhh, saquei! Então, quer dizer que basta eu provar que o produto misto entre os vetores e é ZERO???

Isso mesmo, essa é a ideia!!!

Bora calcular então:

Pelo que calculamos, chegamos num resultado diferente de zero, o que indica que os vetores não são coplanares.

O enunciado pede para verificarmos se os PONTOS estão no mesmo plano. Cuidado, agora, teremos que achar os vetores, pois nos foi dado os pontos ,e não os vetores como no exercício anterior.

Já que temos os pontos devemos determinar vetores com esses pontos para verificar se são coplanares.

Mas, quais vetores escolheremos??

Devemos escolher os vetores de forma que os três possam, talvez, determinar um paralelepípedo. Pois, então, poderemos utilizar a sacada de que se o volume do paralelepípedo for ZERO, então são coplanares.

Bem, há várias possibilidades de se escolher os vetores que poderemos utilizar para serem os vetores diretores do nosso paralelepípedo. Uma forma, talvez, mais fácil de se escolher seja escolher um ponto de origem e fazer todos os vetores partindo dele.

Bom, porque eu quero vou escolher como origem o ponto . Partindo desse ponto conseguimos formar 3 vetores: e .

Agora é calcular os vetores e o produto misto.

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

Portanto, os pontos pertencem ao mesmo plano.

Esse problema nos pede para determinar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores que são dados. O que muda o item do item é a forma como os vetores são dados. Mas, a resolução é a mesma.

Pela teoria sabemos que o módulo do produto misto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores do produto. Então, basta sabermos os vetores e fazer o produto misto entre eles.

1. Foi nos dados 4 pontos: . E determinados 3 vetores Vamos determinar então esses vetores, por meio dos pontos:

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é 1.

1. Foi nos dados 3 vetores na base cartesiana, ou seja, os versores que indicam respectivamente as direções: . Assim temos os vetores:

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é , já que é o módulo do produto misto.

Temos que determinar o valor de para que os vetores dados sejam coplanares, ou seja, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores deve ser ZERO ;).

Como sabemos que para vetores serem coplanares o volume do paralelepípedo deve ser zero, logo, o produto misto entre eles deve ser zero.

Bora calcular o produto misto?!

Mais um exercício para a nossa lista!!

Poxa vida!!! Mas, esse problema é o mesmo do anterior!!

Ele pode ser parecido, mas não é igual não. Sabe pq? Porque no anterior o problema nos dava os vetores bonitinhos e aqui não, é nos dado os pontos. Então, tome cuidado, produto misto é entre VETORES, e não entre pontos.

Bora montar os vetores!!!

Como vimos num problema anterior se três vetores são coplanares, então o volume do paralelepípedo que seria formado por eles é ZERO. E por costume escolheremos os vetores partindo de uma mesma origem. Vou escolher o ponto . Então, teremos os vetores:

Agora sim, é resolver o produto misto entre os vetores para que os vetores sejam coplanares, ou seja, produto misto igual a ZEROOO.

Nos é dado três vetores: . O vetor possui sua coordenada como incógnita. O problema quer saber quais os valores de para que o paralelepípedo formado pelos três vetores seja 24 unidades de volume.

Bom, sabemos que o produto misto de três vetores corresponde em MÓDULO ao valor do volume do paralelepípedo, certo?

Pq que eu coloquei a palavra MÓDULO em destaque?

Porque é esse detalhe que faz toda a diferença na resolução, pois o problema quer os possíveis valores de para que o volume seja de 24 unidades. Isso quer dizer que, como o módulo do produto misto indica o volume, então, o produto misto pode ser igual a 24 ou igual a -24.

Sacou ?

Então, teremos que calcular o produto misto para o módulo. Um para 24 e outro para -24. Então, bora calcular!!!

Assim,

Para,

Para ,

Viu, nem precisou de tanta conta, só um detalhe, já que o determinante não se altera, só fizemos a última partezinha diferente hehe

Esse é o tipo de exercício trabalhoso, pois ele quer o volume, sabemos que o volume é fazer o produto misto. Sucesso!! Só que os vetores que definem o paralelepípedo, que são dependem de , ou estão escrito na base canônica.

Esse exercício é para ver se vocês estão afiados em operações com vetores e com a base canônica.

Vamos definir, primeiro, os vetores que definem o paralelepípedo que são:

Agora é calcular o produto misto e ser feliz haha

Esse exercício possui um pequeno detalhe que faz uma mega diferença. Bom ele quer que determinemos o volume de um tetraedro, sendo que ele nos dá os vértices. A pegadinha, é que o módulo do produto misto é o volume de um paralelepípedo. Mas, e agora?? O que tem de diferente?

Calma!!! Nesse exercício precisamos de um detalhe que ao longo da vida de estudante acabamos esquecendo por falta de uso. E qual é esse detalhe??

O detalhe é que o volume de um tetraedro é do volume de um paralelepípedo. Pronto, nossos problemas acabaram hehe.

Agora, só precisamos definir os vetores, já que nos deram os pontos e calcular o produto misto e por fim, multiplicar por ;).

Vamos lá determinar os vetores:

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

Ah não, demonstração, não!!!

Relaxa aí!!! Vamos com calma!

A figura a seguir vai nos ajudar bastante!!

Sabemos das nossas aulas de geometria do ensino médio que o volume de uma paralelepípedo é:

Na figura acima nossa base é formada pelos vetores , então a área da nossa base como vimos em produto vetorialé igual a:

E quanto vale a altura? Bem, a altura é:

Deve ser o módulo do cosseno, pois não existe comprimento negativo, e o cosseno pode ser negativo.

Então, o volume do paralelepípedo fica:

Bem, e o que isso prova? Ainda nada hehe, porque temos que provar agora que módulo do produto misto vale isso ;).

Se dissermos que

Pelo produto misto teremos:

Pela propriedade do produto escalar temos:

Quem é o módulo de ?

Então,

Portanto, partindo do volume generalizado e partindo do módulo do produto misto conseguimos mostrar que realmente o módulo do produto misto corresponde aovolume do paralelepípedo.