Dada a função de transferência em malha aberta mostrada abaixo:
Sabe-se que a frequência crítica para esse sistema é aproximadamente . Determine a estabilidade do sistema analiticamente.
Passo 1
O critério de Bode diz que para o sistema ser estável, a razão de amplitude da função de transferência em malha aberta deve ser maior que na frequência crítica.
A razão de amplitude, pode ser calculada como o módulo da função de transferência quando tende a .
Portanto, precisamos calcular a razão de amplitude do sistema na frequênciaa crítica, se esse valor for menor que , o sistema será estável, caso contrário, o sistema será instável.
Passo 2
Primeiramente vamos expandir a multiplicação do denominador pra facilitar nosso trabalho:
Agora, podemos calcular :
Substituindo por , teremos:
Passo 3
Como vimos ali em cima, para encontrar a razão de amplitude, precisamos do módulo da expressão anterior:
O módulo de um quociente pode ser dividido como a razão do módulo do numerador pelo módulo do denominador:
E o módulo é calculado com a raiz quadrada do quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária:
A razão de amplitude na frequência crítica é menor que , sendo assim, o sistema é estável.
Resposta
Sistema estável.