Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação – Função Hiperbólica

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Enunciado

Calcule a integral

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 + sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x + cosh ⁡ x d x

Passo 1

A integral da soma é a soma das integrais, então isso é igual a:

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 d x + ∫ sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x + ∫ cosh ⁡ x d x

Passo 2

Na primeira integral dá pra botar o 1 4 pra fora:

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 d x = 1 4 ∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x d x

E ainda dá pra separar em duas integrais:

1 4 ∫ senh ⁡ x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ x d x

Passo 3

E a outra integral dá pra melhorar legal também:

∫ sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ tg ⁡ x + 1 d x = ∫ tg ⁡ x d x + ∫ 1 d x

Passo 4

Show, então nossa integral original virou:

1 4 ∫ senh ⁡ x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ x d x + ∫ tg ⁡ x d x + ∫ 1 d x + ∫ cosh ⁡ x d x

O que dá:

1 4 cosh ⁡ x + 1 4 sin ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + x + sinh ⁡ x + C

Resposta

1 4 cosh ⁡ x + 1 4 sin ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + x + sinh ⁡ x + C

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Ache a integral indefinida geral. 13 . ∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x
Prove que sinh ⁡ x é uma função ímpar de x , que cosh ⁡ x é uma função par de x e verifique que isso é consistente com os gráficos na Figura 6.9 . 1 .
Encontre dy/dx.y = arcsinh ( (1)/(x) )
Encontre dy/dx.y = coth ( ln x )
Encontre dy/dx. y = cosh ( x^4 )