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Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

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Exercício 2134567

Enunciado

Considere a função F : R 2 → R ² definida por

F x , y = x 3 + 2 x y + y 2 , x 2 + y

Sabendo que F é inversível próximo ao ponto ( 1,1 ) , determine a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto F 1,1 = ( 4,2 ) .

Passo 1

Para achar a aproximação linear da função inversa, usamos:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

Então vamos identificar quem é quem na nossa questão:

P 0 = 1 , 1

Y 0 = F P 0 = F 1 , 1 = 4 , 2

E vamos chamar nosso Y = ( u , v ) .

Passo 2

Agora só precisamos calcular F - 1 ' Y 0 = ( F - 1 ) ' ( 4 , 2 ) .

Para isso vamos precisar calcular F ' x , y :

F ' x , y = 3 x 2 + 2 y 2 x + 2 y 2 x 1

Passo 3

Pelo Teorema da Função Inversa temos:

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

F - 1 ' 4,2 = F ' 1,1 - 1

F - 1 ' 4 , 2 = 3 . 1 2 + 2 . 1 2.1 + 2.1 2.1 1 - 1

F - 1 ' 4 , 2 = 5 4 2 1 - 1

Passo 4

Calculando 5 4 2 1 - 1

5 4 2 1 1 0 0 1 → l 1 - 4 l 2 - 3 0 2 1 1 - 4 0 1 → l 1 - 3 1 0 2 1 - 1 3 4 3 0 1

→ l 2 - 2 l 1 1 0 0 1 - 1 3 4 3 2 3 - 5 3

Então

F - 1 ' 4,2 = - 1 3 4 3 2 3 - 5 3

Passo 5

Agora é só substituir

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

L - 1 Y = L - 1 u , v = 1 1 + - 1 3 4 3 2 3 - 5 3 . u - 4 v - 2

L - 1 u , v = 1 1 + - u 3 + 4 3 + 4 v 3 - 8 3 2 u 3 - 8 3 - 5 v 3 + 10 3 +

L - 1 u , v = - u 3 + 4 v 3 - 1 3 2 u 3 - 5 v 3 + 5 3

Resposta

L - 1 u , v = - u 3 + 4 v 3 - 1 3 2 u 3 - 5 v 3 + 5 3