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Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

Ver Teoria
Exercício 6123457

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 – Profº Leonardo – 2018.2, Questão 3c

Seja g : R ² → R de classe C 3 , sobre a qual se sabe que g 1,3 = 5   e   g 2 , - 1 = - 2 .

Considere agora sua função gradiente G : R ² → R ² definida como:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Sobre G se sabe (sendo D ( x 0 , y 0 ) G a matriz jacobiana de G no ponto ( x 0 , y 0 ) ) :

G 1 , 3 = - 2 0                                                         G 2 , - 1 = 1 3

D ( 1 , 3 ) G = - 1 2 2 - 4                                                 D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

  1. Considerando uma inversa local justificada no item b) acima, determine sua matriz jacobiana no ponto correspondente (deixe claro o ponto).

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Na letra b), foi descoberto que o único ponto que tem a nossa inversa é o ( 2 , - 1 ) da G ( x , y ) . Para isso, usamos a seguinte relação:

G - 1 ' Y 0 = G ' X 0 - 1

Além disso, é dado no enunciado:

D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

Vamos calcular.

Passo 2

Vamos lá:

D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

G - 1 ' Y 0 = 0 3 3 2 - 1

Vamos começar verificando o determinante:

d e t 0 3 3 2 = 0 2 - 3 3 = 0 - 9 = - 9

Opa, determinante diferente de zero, então pode existir ainda uma inversa. Vamos continuar. Agora vamos ter que calcular:

0 3 3 2 - 1 = 1 d e t 0 3 3 2 2 - 3 - 3 0 = 1 - 9 2 - 3 - 3 0

1 - 9 2 - 3 - 3 0 = - 2 / 9 + 3 / 9 + 3 / 9 0 / 9 = - 2 9 1 3 1 3 0

Resposta

- 2 9 1 3 1 3 0