UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 – Profº Leonardo – 2018.2, Questão 3d
Seja g de classe sobre a qual se sabe que .
Considere agora sua função gradiente definida como:
Sobre se sabe (sendo a matriz jacobiana de no ponto
- A função g admite polinômio de Taylor de grau 2 em algum dos pontos dados? Justifique e determine o(s) ponto(s) e polinômio(s).
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, ele pede que a gente verifique se a nossa função vai admitir polinômio de Taylor de Grau 2.
Para isso, temos que verificar a existência de todas as derivadas de ordem 2 e felizmente isso é dado no enunciado.
Lembrando que a estrutura do polinômio de Taylor é a seguinte:
Lembrando que:
Então vamos começar fazendo cada polin��mio para cada ponto do enunciado.
Passo 2
Vamos lá, começando por
Vamos começar identificando as primeiras derivadas:
Reparem que o enunciado nos diz que:
Então podemos afirmar que:
Show, e para as derivadas de segunda ordem? Bom, também é dado para a gente. Reparem só, vamos ter que lembrar que:
E o enunciado nos diz que:
Então:
Show, já temos todas as nossas derivadas parciais, e agora? Bom, vamos montar o nosso polinômio de acordo com a estrutura.
Passo 3
Começaremos calculando cada componente:
Juntando tudo no polinômio: