Teorema da função inversa e implícita
Seja
- Mostre que admite inversa numa funzinhança de qualquer tal que
- Verifique que , calcule e obtenha a função afim que melhor aproxima na vizinhança de.
OBS: A questão tem um pequeno erro, quando fizermos vamos ver que o que está no enunciado na lista está errado, aqui eu corrigi para deixar certinho.
Passo 1
Para verificar se a função é inversível temos que achar o jacobiano dessa função. Para isso primeiro identificamos quem são , e , nesse caso porque temos .
Agora vamos ter
Já temos o jacobiano em um ponto qualquer
Passo 2
Para ela ser inversível o determinante desse jacobiano deve ser diferente de
Logo a função é inversível fora a restrição que ele deu no enunciado
Passo 3
Como as funções , e são deriváveis e o determinante do jacobiano é diferente de podemos aplicar o teorema da função inversa. Lembrando que nesse caso
Vamos verificar o que ele disse, para isso devemos achar
Beleza deu igual ao que ele pediu do enunciado.
Teremos
Usando a álgebra linear vamos ter
Passo 4
Para acharmos essa função que melhor aproxima temos que usar uma fórmula bem de boa, sabemos da geometria analítica que
Sabendo que é a matriz jacobiana e que são vetores podemos pensar em álgebra linear e continuar com essa notação.
Essa função é o que queremos, vamos dar uma manipulada
Essa fórmula é bem estranha, mas infelizmente temos que decorar usando esse mesmo passo a passo que temos, coloca na cabeça que sempre que ele pediu uma aproximação da função inversa em é dada por essa fórmula.
Temos também que escrever as variáveis diferentes de , e , normalmente usamos , e
Vamos ver como fica essa parada
Resposta
E