UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 – Profº Leonardo – 2018.2, Questão 3b
Seja g de classe sobre a qual se sabe que .
Considere agora sua função gradiente definida como:
Sobre se sabe (sendo a matriz jacobiana de no ponto
- Em quais dos pontos , se aplica o Teorema da Função Inversa para ? E para ? Nos casos em que se aplica escreva a conclusão completa do Teorema.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?
Vamos começar resolvendo para . Usaremos o Teorema da Função Inversa:
Show, mas como vai funcionar para a nossa Importante destacar uma coisa do enunciado:
Logo, podemos afirmar que:
Com essas informações, podemos começar a calcular.
Passo 2
Vamos lá, como vai ser o teorema da função inversa? Para começar, precisamos calcular a Matriz Jacobiana da nossa , que felizmente já foi dado para a gente:
Se a gente aplicar na fórmula do T.F.I:
Opa, achamos um problema aqui. Reparem que nós precisamos inverter a nossa matriz, porém ela não é quadrada, logo, ela não possui matriz inversa. Então o Teorema da Função Inversão não se aplica a nenhum ponto de .
Passo 3
Show, agora vamos olhar para a . Vamos seguir o mesmo protocolo:
Para o ponto
Show, agora precisamos inverter a nossa Matriz, como faremos isso? Primeiro precisamos verificar o determinante da nossa matriz original:
Opa, determinante deu zero. Isso significa que a nossa matriz não possui inversa, logo aqui o Teorema da Função inversa não se aplica.
Passo 4
Estamos quase lá galera. Falta verificar o segundo ponto (2,-1):
Vamos começar verificando o determinante:
Opa, determinante diferente de zero, então pode existir ainda uma inversa. Vamos continuar. Agora vamos ter que calcular: