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Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

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Exercício 1234567

Enunciado

Seja

F u , v = u 2 + u 2 v + 10 v ,   u + v ³

Sabendo que F é inversível próximo ao ponto ( 1,1 ) , calcule um valor aproximado para F - 1 11.8,2.2

Passo 1

Para achar a aproximação linear da função inversa próximo ao ponto Y 0 = F P 0 , usamos:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

Então vamos identificar quem é quem na nossa questão:

P 0 = 1,1

Y 0 = F P 0 = F 1,1 = 1 2 + 1 2 . 1 + 10.1   ,   1 + 1 3 = ( 12   ,   2 )

E vamos chamar nosso Y = ( x , y ) .

Beleza, então vamos achar essa aproximação linear depois substituímos no ponto ( 11.8   ,   2.2 ) .

Passo 2

Comecemos calculando F - 1 ' Y 0 = ( F - 1 ) ' ( 12 ,   2 ) .

Para isso vamos precisar calcular F ' u , v :

F ' x , y = 2 u + 2 u v u 2 + 10 1 3 v ²

Passo 3

Pelo Teorema da Função Inversa temos:

F - 1 ' Y 0 = F ' P 0 - 1

F - 1 ' 12   ,   2 = F ' 1,1 - 1

F - 1 ' 12   , 2 = 2.1 + 2.1 . 1 1 2 + 10 1 3.1 ² - 1

F - 1 ' 12   , 2 = 4 11 1 3 - 1

Passo 4

Calculando 4 11 1 3 - 1

4 11 1 3 1 0 0 1 → l 1 - 4 l 2 0 - 1 1 3 1 - 4 0 1 → l 2 + l 1 0 - 1 1 2 1 - 4 1 - 3

→ - l 1 0 1 1 2 - 1 4 1 - 3 → l 2 - 2 l 1 0 1 1 0 - 1 4 3 - 11 l 1 ⟷ l 2 1 0 0 1 3 - 11 - 1 4

Então

F - 1 ' 12,2 = 3 - 11 - 1 4

Passo 5

Agora é só substituir

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

L - 1 Y = L - 1 x , y = 1 1 + 3 - 11 - 1 4 . x - 12 y - 2

Ok, agora a gente poderia calcular essa aproximação linear e só depois substituir o ( 11.8,2.2 ) , mas ai estaríamos tendo trabalho à toa né...

A gente pode substituir o ( 11.8,2.2 ) agora já:

L - 1 Y = L - 1 11.8,2.2 = 1 1 + 3 - 11 - 1 4 . 11.8 - 12 2.2 - 2

L - 1 11.8,2.2 = 1 1 + 3 - 11 - 1 4 . - 0.2 0.2

L - 1 11.8,2.2 = 1 1 + - 0.6 - 2.2 0.2 + 0.8

L - 1 11.8,2.2 = - 1 . 8 2 . 0

Resposta

L - 1 11.8,2.2 = - 1 . 8 2 . 0