Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

Ver Teoria
Exercício 6123457891011121314151617

Enunciado

Questão 1: Considere a função vetorial

f : R 3 → R 2

x ,   y ,   z → e z cos ⁡ π x y ,   e x y cos ⁡ z

  1. Calcule a matriz Jacobiana de f para todo ponto de D .
  2. Calcule a aproximação afim de f no ponto 1 ,   1 ,   0 .

Passo 1

Letra A)

Bem, A matriz Jacobiana de uma função f : R 3 → R 2 nada mais é do que essa linda matriz aqui:

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z

Onde...

f x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 = e z cos ⁡ π x y ,   e x y cos ⁡ z

Então, calculando as derivadas...

J = - e z sin ⁡ π x y ⋅ π y - e z sin ⁡ π x y ⋅ π x e z cos ⁡ π x y e x y cos ⁡ z ⋅ y e x y cos ⁡ z ⋅ x - e x y sin ⁡ z   →

J x ,   y ,   z = - π y e z sin ⁡ π x y - π x e z sin ⁡ π x y e z cos ⁡ π x y y e x y cos ⁡ z x e x y cos ⁡ z - e x y sin ⁡ z

Passo 2

Ora, a aproximação afim tem essa cara aqui:

L X = f X 0 + f ' X 0 X - X 0

Onde X 0 é o ponto que estamos trabalhando:

X 0 = 1 ,   1 ,   0

E f ' X 0 = J X 0   é o jacobiano no ponto...

f ' X 0 = J X 0     →

J 1 ,   1 ,   0 = - π e 0 sin ⁡ π - π e 0 sin ⁡ π e 0 cos ⁡ π e 1 cos ⁡ 0 e 1 cos ⁡ 0 - e 1 sin ⁡ 0 =

0 0 - 1 e e 0

Então, já que f X 0 é só substituir o ponto na função que queremos a aproximação...

f X 0 = e 0 cos ⁡ π ,   e 1 cos ⁡ 0 =

- 1 ,   e

Temos todos os ingredientes, basta a gente juntar tudo aqui:

L X = f X 0 + f ' X 0 X - X 0     →

L X = - 1 ,   e + 0 0 - 1 e e 0 x y z - 1 1 0     →

L X = - 1 ,   e + 0 0 - 1 e e 0 x - 1 y - 1 z →

E simplificar...

L X = - 1 ,   e + - z ,   e x - 1 + e y - 1 →

L X = - 1 ,   e + - z ,   e x - e + e y - e →

L X = - 1 - z , -   e + e x + e y

Resposta

Letra A)

J x ,   y ,   z = - π y e z sin ⁡ π x y - π x e z sin ⁡ π x y e z cos ⁡ π x y y e x y cos ⁡ z x e x y cos ⁡ z - e x y sin ⁡ z

Letra B)

L X = - 1 - z , -   e + e x + e y

Exercícios de Livros Relacionados

Derivadas dos produtos mistosa. Mostre que, se u, v e w são funções vetoriais deriváveis de t , então d d t ( u → ⋅ v → × w → ) = d d t u → ⋅ v → × w → + u → ⋅ d d t v → × w → + u → ⋅ v → × d d t w →