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Sejam transformações lineares com a seguinte propriedade:
Nos vetores da base canônica , e tem-se que
em que e são números reais.
a) Diga se , justificando.
b) Determine a matriz jacobiana de e calcule .
c) Encontre a equação da melhor aproximação linear que aproxima da vizinhança de .
Passo 1
Letra :
Seja um vetor , ele pode ser escrito na base canônica:
Assim,
Por linearidade,
Passo 2
Como , e, então
Portanto, e, assim, .
Passo 3
Letra :
A derivada de uma transformação linear é ela mesma, logo a matriz jacobiana de é igual a matriz em todo ponto do , o que inclui o ponto .
Como , temos
Passo 4
Letra :
A melhor aproximação linear na vizinhança de um ponto é a única transformação afim com essa propriedade. Como linear é afim, a aproximação (em todo ponto) é a própria transformação .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)