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Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

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Enunciado

Usando uma função afim, calcule aproximadamente o vetor

16,02 - 0,97 3 16,02 4 - 1,04 1,04 5

Passo 1

Com base nesse vetor, podemos definir a função

F X = F x , y , z = x - y 3 x 4 - z z 5

Agora vamos achar a aproximação linear pra essa função no ponto

X 0 = ( 16 ,   1,1 )

Que é um ponto próximo desse ponto esquisito ai que ele quer que calculemos a função e bem mais simples que ele.

Passo 2

Vamos então calcular o valor da nossa função nesse ponto.

F X 0 = F 16 ,   1,1 = 16 - 1 3 16 4 - 1 1 5 = 3 1 1

Passo 3

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' x , y , z = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z ∂ f 3 ∂ x ∂ f 3 ∂ y ∂ f 3 ∂ z

F ' x , y , z = 1 2 x - 1 3 y 2 3 0 1 4 x 3 4 0 - 1 2 z 0 0 1 5 z 4 5

Em x 0 , y 0 , z 0 = ( 16 ,   1,1 ) :

F ' 16,1 , 1 = 1 2 16 - 1 3 1 2 3 0 1 4 16 3 4 0 - 1 2 1 0 0 1 5 1 4 5 = 1 8 - 1 3 0 1 32 0 - 1 2 0 0 1 5

Passo 4

Pronto, agora é só substituir!

A X = F X 0 + F ' X 0 . ( X - X 0 )

A x , y , z = 3 1 1 + 1 8 - 1 3 0 1 32 0 - 1 2 0 0 1 5 . x - 16 y - 1 z - 1 =   x 8 - y 3 + 4 3 x 32 - z 2 + 1 z 5 + 4 5

Passo 5

Beleza, agora que já encontramos nossa aproximação linear, podemos substituir naquele ponto lokão:

A 16,02   ,   0,97   ,   1,04 =   16,02 8 - 0,97 3 + 4 3 16,02 32 -   1,04 2 + 1   1,04 5 + 4 5 = 3,0125 0,980625 1,008

Resposta

16,02 - 0,97 3 16,02 4 - 1,04 1,04 5 ≅ 3,0125 0,980625 1,008

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