Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.
Passo 1
Opaa! Vamos continuar com nossos exercícios de assíntotas!
Lembrando que a gente acha as assíntotas fazendo isso aqui
- A assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:
- A assíntota vertical acontece nesse aqui:
A pergunta é: Pra que valor a função vai quando tende a ?
E a pergunta é: tende pra que valor quando a função vai pra ?
Passo 2
As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função. Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade, que podem ser denominadores dando zero, raiz negativa, ...
No caso da função dada,
A única restrição que temos que analisar é quando o denominador da fração é zero. Isso ocorre quando:
Então, como queremos achar as assíntotas verticais da função, precisaremos ver os limites laterais quando tende a , ou seja, e
Quando o se aproxima do pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:
Ou seja, ele sempre fica cada vez mais próximo, porém sempre abaixo do , e por isso fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.
Quando o se aproxima do pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:
Então ele sempre fica cada vez mais próximo, porém sempre acima do , e o vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:
Portanto, é assíntota vertical tanto pela esquerda quanto pela direita.
Passo 3
Agora vamos ver as assíntotas horizontais, aquelas que ocorrem com tendendo a .
Primeiro para
Vamos apenas resolver esse limite dividindo em cima e embaixo por
Show, agora vamos fazer o limite de
Portanto, há uma assíntota horizontal em .
Resposta
Verticais:
Horizontais: