Determine todas as assíntotas ao gráfico de
Passo 1
Fala aiiii! Esse exercício aí parece mais sinistro, mas fica tranquilo que vai ficar de boinhas com essa explicação aqui
Procuramos as assíntotas da seguinte maneira: as assíntotas horizontais se relacionam com o limite de quando e as assíntotas verticais se relacionam com as descontinuidades quando são pontos fora do domínio de que levam a função para .
Como nossa função é uma fração, o domínio de é representando por todos os números reais, menos aqueles que zeram o denominador. Para encontrar os valores de que estão fora do domínio faremos:
Logo, . Isso indica que o zero é uma possível assíntota.
Passo 2
Para saber se o zero realmente é uma assíntota, vamos analisar os limites laterais da função e , e ver se isso fará com que a função vá pra .
Aplicando os limites laterais:
Logo, é assíntota vertical!
Passo 3
Agora vamos ver as horizontais!
Nesse caso, vamos fazer o limite . Se o limite existir e for para um valor finito, esse valor será nossa assíntota.
Se substituirmos, temos
Xiii, deu uma indeterminação!
Então, vamos ter que dar uma mexidinha ai!Uma boa forma de nos livramos do problema da indeterminação é somar e diminuir do numerador, e aí a gente fica com isso aqui:
Que a gente pode separar em duas frações
Na primeira fração, podemos cortar dos dois lados, ficando com
Aqui vamos aplicar o limite novamente e ver se isso resolveu o problema
Substituindo por temos
Como , temos:
Oba! Deu certo. E como é um valor finito, o será uma assíntota horizontal!
Agora para
Quando temos , que tende a zero!! Então podemos substituir direto na equação, ficando com:
Também deu certo. E temos outra assíntota horizontal.
Assim, são duas assíntotas horizontais, e