Encontre as assíntotas horizontais e verticais para:
Passo 1
Fala aiii! Bora continuar estudando pra ficar fera nessa matéria!
Opa, mas o que é isso? tem um aí no meio, o que a gente faz agora?
A primeira coisa a fazer é organizar essa função escrevendo :
E para isso, começaremos separando o que tem para um lado e o que não tem pro outro:
Agora vamos colocar em evidência!
Dividindo os dois lado por , temos:
Pronto, agora sim, temos uma função escrita de maneira mais familiar.
E como ela é uma fração, é bom analisar logo o seu domínio.
Seu denominador não pode zerar, como o que acontece em e em . Com isso seu domínio será, portanto:
Passo 2
Para ver quem são as assíntotas horizontais faremos o limite para na função:
Aplicando diretamente o limite, cairemos em uma indeterminação do tipo .
O jeito é colocar em evidência
Cortando esses safadinhos, ficamos com:
Show, agora a gente pode substituir, lembrando que
Como o limite nos deu um valor finito ele será nossa assíntota horizontal.
Agora para , vamos fazer algo bem parecido
Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais sendo .
Passo 3
Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em como vimos lá atrás) e lançar os limites laterais ali:
Começando com
Pelo lado direito, temos um valor de indo para , porém um pouquinho maior que 1, o que fará com que o denominador seja positivo:
Assim teremos:
Agora pelo lado esquerdo, termos um valor de indo para , mas agora um pouquinho menor que , o que fará com que o denominador seja negativo:
Com isso, vemos que é uma assíntota vertical.
Agora para (atenção que com o sinal trocado, temos uma pegadinha aqui, se liga)
Então, para . Pelo lado direito:
E pelo lado esquerdo:
Feito isso, sabemos que temos assíntotas verticais em e