Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função
Passo 1
Opaa, fala aí! Vamo que vamo fazer mais uma questão de assíntotas!
Antes de qualquer coisa, vamos analisar o numerador e denominador de e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis. Isso vai facilitar os cálculos mais a frente, então vamos simplificar um pouco.
Começando com o numerador:
Podemos colocar em evidencia, assim:
Agora para o denominador, vamos fazer Baskhara
Sendo , e
Isso fica
Que nos dá duas raízes
Com as raízes em mãos, podemos reescrever nosso polinômio usando
Então nosso denominador se transforma em:
Com isso, podemos reescrever , dessa forma:
Então, simplificando, temos:
Bem mais de boinhas, né??
Maaas, mesmo cortando o em cima e embaixo, está fora do domínio, por zerar o denominador original.
Ok, vamos procurar as assíntotas agora.
Passo 2
Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando calculamos o limite de .
Começando com as verticais, o domínio não está definido em
Quando o se aproxima do pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:
Ou seja, ele sempre fica abaixo do , e por isso fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.
Quando o se aproxima do pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:
Então ele sempre fica acima do , e o vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:
Assíntota vertical em .
Mas você deve tá se perguntando “e que raios aconteceu com o que também ta fora do domínio??”
É normal ficar nessa dúvida, então vou te mostrar o que aconteceu com o a gente viu que também não está no domínio da função original, já que aparece um no denominador de . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando veremos que ele converge para um valor, e não para , não consistindo em uma assíntota vertical!
Passo 3
Agora para as assíntotas horizontais
Vamos usar o limite de em e em
Achamos uma mesma assíntota horizontal, .