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Exercícios Resolvidos de Binômio de Newton

Ver Teoria
Exercício 5123467

Enunciado

Dado o binômio abaixo, determine o coeficiente que acompanha o termo x 8 :

x 3 + 2 x 6

Passo 1

Faaaaala aí, meu anjo! Para esse tipo de questão, teremos que usar a fórmula do termo geral.

Dada uma potência da forma a + b n , se desenvolvermos teremos n + 1 termos, cuja fórmula geral é:

T k + 1 = n k a n - k b k

Onde no nosso caso n = 6 ,   a = x 3 ,   b = 2 x e 0 ≤ k ≤ n .

Substituindo essas informações na fórmula:

T k + 1 = 6 k x 3 6 - k 2 x k

T k + 1 = 2 k 6 k x 3.6 - 3 k x k

T k + 1 = 2 k 6 k x 18 - 3 k + k

Finalmente:

T k + 1 = 2 k 6 k x 18 - 2 k

Passo 2

Como nós queremos o coeficiente que acompanha x 8 , precisamos encontrar algo do tipo:

          _ x 8

Então temos:

18 - 2 k = 8

2 k = 10

k = 5

Vamos substituir o k para encontrarmos, enfim, o termo:

T 5 + 1 = 2 5 6 5 x 18 - 2 . 5

T 6 = 32 6 5 x 8

Passo 3

Lembrando que:

n k = n ! k ! n - k !

6 5 = 6 ! 5 ! 6 - 5 ! = 6 ! 5 ! = 6

Portanto:

T 6 = 32 6 5 x 8

T 6 = 32 . 6 x 8

T 6 = 192 x 8

Logo, o coeficiente que acompanha x 8 é 192 .

Resposta

192