Exercícios Resolvidos de Binômio de Newton

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Enunciado

Determine o coeficiente que acompanha o termo x 6 no desenvolvimento da potência x - 3 x 8 .

Passo 1

Faaaaala aí, meu anjo! Para esse tipo de questão, teremos que usar a fórmula do termo geral.

Dada uma potência da forma a - b n , se desenvolvermos teremos n + 1 termos, cuja fórmula geral é:

T k + 1 = - 1 k n k a n - k b k

Onde no nosso caso n = 8 ,   a = x ,   b = 3 x e 0 ≤ k ≤ n .

Substituindo essas informações na fórmula:

T k + 1 = - 1 k 8 k x 8 - k 3 x k

T k + 1 = - 1 k 8 k x 8 - k x k 3 k

T k + 1 = - 1 k 3 k 8 k x 8 - k - k

Finalmente:

T k + 1 = - 1 k 3 k 8 k x 8 - 2 k

Passo 2

Como nós queremos o coeficiente que acompanha x 6 , precisamos encontrar algo do tipo:

          _ x 6

Então temos:

8 - 2 k = 6

2 k = 2

k = 1

Vamos substituir o k para encontrarmos, enfim, o termo:

T 1 + 1 = - 1 1 3 1 8 1 x 8 - 2 . 1

T 2 = - 3 8 1 x 6

Passo 3

Lembrando que:

n k = n ! k ! n - k !

8 1 = 8 ! 1 ! 8 - 1 ! = 8 ! 7 ! = 8

Portanto:

T 2 = - 3 8 1 x 6

T 2 = - 3 . 8 x 6

T 2 = - 24 x 6

Logo, o coeficiente que acompanha x 6 é - 24 .

Resposta

- 24