Regra de 1/3 de Simpson
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender sobre o Método de 1/3 de Simpson?
Você já deve conhecer os métodos de integração de cálculo, mas imagina que você tenha que integrar essa função aqui:
Putz, que sufoco! 😱
Mas é pra isso que existe as Integrações Numéricas! Aqui a gente vai usar artifícios do cálculo numérico para resolver integrais que seriam bem trabalhosas de resolver analiticamente! 😍
No vídeo abaixo tem um resumão de TUDO que você precisa saber pra começar usar a Regra de 1/3 de Simpson para resolver integrais cabulosas! 👇
Ou continua comigo no textinho!
Fórmula de Simpson
Indo bem direto ao ponto, a fórmula que vamos usar na Regra de 1/3 de Simpson é essa daqui:

Mas calma, não se desespera que vamos entender tudinho passo a passo!
Na Regra de 1/3 de Simpson usamos um polinômio interpolador de Lagrange de ordem
-Que?
Se liga na imagem abaixo que tudo vai ficar mais claro:

Supondo que
Para isso usamos um polinômio de grau

O nosso intervalo fica entre
Integrando e fazendo umas manipulações, chegamos nessa fórmula pra definir a regra de 1/3 de Simpson:

Que é essa daqui que a gente viu lá em cima! 😍
Um raciocínio bem parecido é usado na Regra dos Trapézios, mas a Regra de 1/3 de Simpson é considerada melhor que a Regra dos Trapézios, pois apresenta um erro menor em seus resultados, apesar de ser mais trabalhosa!
Falando em erro, o erro da Fórmula de Simpson é dado por:
Como usar a Regra de 1/3 de Simpson?
Vamos aprender fazendo um exemplo?!
A beleza desse exemplo é que essa integral é muito fácil de fazer analiticamente! Então podemos fazer das duas formas e comparar os resultados!
Vamos usar os seguintes pontos:

Usaremos a fórmula:
Para calcular
Agora é só substituir e calcular:
Analiticamente, teríamos:
Suuuper próximo, viu?!
Mas nem sempre podemos comparar com o resultado analítico, nesse caso calculamos o erro:
E agora, se eu te contar que da pra fazer esse método ficar ainda mais preciso?
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Uma coisa bem importante é que nesse método aproximamos a função usando parábolas! Isso significa que precisamos de
E se, em cada par de intervalos vamos aplicar a regra individual que vimos lá em cima. Com
No final vamos chegar na aproximação:

Organizando os termos:

Assim teremos mais pontos e consequentemente uma precisão maior!
Algoritmo
Esse algoritmo é para a Regra 1/3 de Simpson Repetida. Para que ela vire a Regra 1/3 de Simpson normal basta você dar
- Passo 1: Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
- Vetor de valores
- Vetor de valores
- Vetor de valores
- Passo 2. Definimos
- Passo 3. Definimos
- Passo 4: Para
de a repita o passo .
- Passo 5: Se
for par faça o passo Se for ímpar, faça o passo .
- Passo 6:
- Passo 7:
- Passo 8:
- Passo 9: Retorne
Novamente, poderíamos adaptar esse código para entrarmos com os extremos e com o número
Pra fechar com chave de ouro, confere esse exercício resolvido em vídeo sobre a Regra de 1/3 de Simpson:
Agora vamos fazer uns exercícios!