Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender sobre o Método de 1/3 de Simpson?

Você já deve conhecer os métodos de integração de cálculo, mas imagina que você tenha que integrar essa função aqui:

Putz, que sufoco! 😱

Mas é pra isso que existe as Integrações Numéricas! Aqui a gente vai usar artifícios do cálculo numérico para resolver integrais que seriam bem trabalhosas de resolver analiticamente! 😍

No vídeo abaixo tem um resumão de TUDO que você precisa saber pra começar usar a Regra de 1/3 de Simpson para resolver integrais cabulosas! 👇

Ou continua comigo no textinho!

Fórmula de Simpson

Indo bem direto ao ponto, a fórmula que vamos usar na Regra de 1/3 de Simpson é essa daqui:

Regra 1/3 de Simpson: Fórmula
Regra 1/3 de Simpson: Fórmula

Mas calma, não se desespera que vamos entender tudinho passo a passo!

Na Regra de 1/3 de Simpson usamos um polinômio interpolador de Lagrange de ordem para aproximar a função de interesse .

-Que?

Se liga na imagem abaixo que tudo vai ficar mais claro:

Regra 1/3 de Simpson: Exemplo Gráfico
Regra 1/3 de Simpson: Exemplo Gráfico

Supondo que é a nossa função de interesse e queremos saber a área sob a curva entre os pontos e , ou seja, queremos integrar a função nesse intervalo!

Para isso usamos um polinômio de grau , que vai se ajustar ao nesse intervalo e assim conseguimos fazer a integração! vai ter essa carinha aqui:

Polinômio Interpolador de grau 2.
Polinômio Interpolador de grau 2.

O nosso intervalo fica entre e , mas precisamos de pontos para o nosso polinômio, então vamos usar o ponto intermediário . Esses pontos devem ser igualmente espaçados e o espaço entre esses pontos vai se chamar .

Integrando e fazendo umas manipulações, chegamos nessa fórmula pra definir a regra de 1/3 de Simpson:

Regra 1/3 de Simpson: Fórmula
Regra 1/3 de Simpson: Fórmula

Que é essa daqui que a gente viu lá em cima! 😍

Um raciocínio bem parecido é usado na Regra dos Trapézios, mas a Regra de 1/3 de Simpson é considerada melhor que a Regra dos Trapézios, pois apresenta um erro menor em seus resultados, apesar de ser mais trabalhosa!

Falando em erro, o erro da Fórmula de Simpson é dado por:

Como usar a Regra de 1/3 de Simpson?

Vamos aprender fazendo um exemplo?!

A beleza desse exemplo é que essa integral é muito fácil de fazer analiticamente! Então podemos fazer das duas formas e comparar os resultados!

Vamos usar os seguintes pontos:

Tabela de dados.
Tabela de dados.

Usaremos a fórmula:

Para calcular fazemos:

Agora é só substituir e calcular:

Analiticamente, teríamos:

Suuuper próximo, viu?!

Mas nem sempre podemos comparar com o resultado analítico, nesse caso calculamos o erro:

E agora, se eu te contar que da pra fazer esse método ficar ainda mais preciso?

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Uma coisa bem importante é que nesse método aproximamos a função usando parábolas! Isso significa que precisamos de pontos consecutivos pra traçar a parábola.

E se, em cada par de intervalos vamos aplicar a regra individual que vimos lá em cima. Com .

No final vamos chegar na aproximação:

Regra 1/3 de Simpson Repetida
Regra 1/3 de Simpson Repetida

Organizando os termos:

Regra 1/3 de Simpson Repetida - Fórmula simplificada
Regra 1/3 de Simpson Repetida - Fórmula simplificada

Assim teremos mais pontos e consequentemente uma precisão maior!

Algoritmo

Esse algoritmo é para a Regra 1/3 de Simpson Repetida. Para que ela vire a Regra 1/3 de Simpson normal basta você dar pontos para ela. Lembrando que para termos um número par de intervalos precisamos de um número ímpar de pontos.

  • Passo 1: Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
    • Vetor de valores
    • Vetor de valores

  • Passo 2. Definimos

  • Passo 3. Definimos

  • Passo 4: Para de a repita o passo .

  • Passo 5: Se for par faça o passo Se for ímpar, faça o passo .

  • Passo 6:

  • Passo 7:

  • Passo 8:

  • Passo 9: Retorne

Novamente, poderíamos adaptar esse código para entrarmos com os extremos e com o número de intervalos ao invés dos valores de . Uma condição interessante de se adicionar é verificarmos se é par no começo das iterações !

Pra fechar com chave de ouro, confere esse exercício resolvido em vídeo sobre a Regra de 1/3 de Simpson:


Agora vamos fazer uns exercícios!

Como usar a Regra de 1/3 de Simpson?

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Algoritmo

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