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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 10

10. Seja a tabela:

Usando um polinômio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obter o valor estimado de x para o qual f x = 0.23 . De uma estimativa do erro cometido em cada caso, se possível.

Passo 1

E ai meu bom!

Se liga só! Vamos começar resolvendo esse sistema através da interpolação linear, peguemos o polinômio de 2 º grau, dado por...

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Usando x = 0.15 , temos que...

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

0.12 = a 0 + 0.15 a 1 + 0.0225 a 2

Usando x = 0.2 , temos que...

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

0.16 = a 0 + 0.2 a 1 + 0.04 a 2

Usando x = 0.2 5 , temos que...

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

0.19 = a 0 + 0.2 5 a 1 + 0.0625 a 2

Passo 2

Chegamos então, ao seguinte sistema linear na forma matricial...

1 0.15 0.0225 1 0.2 0.04 1 0.25 0.0625 a 0 a 1 a 2 = 0.12 0.16 0.19

Usando o método de Gauss-Jordan:

1 0.15 0.0225 1 0.2 0.04 1 0.25 0.0625 0.12 0.16 0.19 L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 → 1 0.15 0.0225 0 1 7 20 0 1 10 1 25 0.12 0.8 0.07 L 3 → L 3 - 1 10 L 2 →

→ 1 0.15 0.0225 0 1 7 20 0 0 1 200 0.12 0.8 - 1 100 L 3 → L 3 1 200 → 1 0.15 0.0225 0 1 7 20 0 0 1 0.12 0.8 - 2 L 2 → L 2 - 7 20 L 3 L 1 → L 1 - 9 400 L 3 →

→ 1 0.15 0 0 1 0 0 0 1 0.165 1.5 - 2 L 1 → L 1 - 3 20 L 2 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 0.06 1.5 - 2

Obtemos que...

a 0 = - 0.06

a 1 = 1.5

a 2 = - 2

Chegando então, ao seguinte polinômio...

p 2 x = - 0.06 + 1.5 x - 2 x 2

Como p 2 ( x ) precisa ser 0.23 , então...

- 0.06 + 1.5 x - 2 x 2 = 0.23

- 2 x 2 + 1.5 x - 0.29 = 0

Nos dando como raiz...

x ≅ 0.316667

Resposta

x ≅ 0.316667

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O valor de log 10 ⁡ 12,7 foi computado por interpolação linear sobre os pontos 12e13 . Mostrar que o erro de truncamento é ≤ 0 , 004 .
Sabendo-se que 1,03 = 0 , 0149e1,04 = 1.0198 , a) calcular 1,035 , por interpolação linear; b) dar um limitante superior para o erro de truncamento.
Dada a função f ( x ) =4 x 5 -2 x+2 , tabelá-la nos pontos x = 0;x = ± 1;x = ± 2 e construir o seu polinômio de interpolação no intervalo [ - 2 ; 2 ] .