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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 18

18. Considere a tabela:

Dê uma aproximação para a raiz da equação f x = 2 utilizando interpolação quadrática. Tente encontrar mais de uma maneira para resolver o problema.

Passo 1

E ai meu bom!

Se liga só! Vamos usar o método da Interpolação Inversa!

Pois muito bem! Se o polinômio é quadrático, de grau 2 , então temos que...

P 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Passo 2

E do primeiro par da tabela, x = 0 e f x = 0 , de cara já sabemos que o valor de a 0 é dado por...

a 0 = 0

Pegando então, 2 pontos da nossa tabela, montamos assim, o seguinte sistema:

1.2 a 1 + 1.44 a 2 = 1.5 2.3 a 1 + 5.29 a 2 = 5.3

E então, temos que...

1.2 1.44 2.3 5.29 1.5 5.3

Passo 3

A nossa matriz é dada por...

1.2 1.44 2.3 5.29 1.5 5.3

Pelo método de Gauss-Jordan:

1.2 1.44 2.3 5.29 1.5 5.3 L 1 → L 1 / 1.2 → 1 1.2 2.3 5.29 1.25 5.3 L 2 → L 2 - 2.3 L 1 → 1 1.2 0 2.53 1.25 2.425 L 2 → L 2 / 2.53 →

→ 1 1.2 0 1 1.25 0.9585 L 1 → L 1 - 1.2 L 2 → 1 0 0 1 0.1 0.9585

Chegamos até a seguinte matriz escalonada...

1 0 0 1 0.1 0.9585

E então, temos o seguinte polinômio abaixo...

P 2 x = 0.1 x + 0.9585 x 2

Passo 4

Igualando esse polinômio a 2 :

0.1 x + 0.9585 x 2 = 2

0.9585 x 2 + 0.1 x - 2 = 0

Temos como raiz, os seguinte valores

x ≅ 1 . 3933

x = - 1.4976

Fiquemos apenas com o valor positivo!

E obtemos assim, a nossa resposta!

Passo 5

Vamos ao segundo método! Ainda usando a interpolação inversa, mas agora, usaremos Lagrange para achar o polinômio, beleza?

Vamos precisar de 3 pontos também! Vamos pegar os mesmos pontos do método passado:

x 0 = 0 → f 0 x = y 0 = 0

x 1 = 1.2 → f 1 x = y 1 = 1.5

x 2 = 2.3 → f 2 x = y 2 = 5.3

Para o Lagrange de grau 2:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2

Onde:

L 0 = ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 0 - x 2 ) = ( x - 1.2 ) ( x - 2.3 ) ( 0 - 1.2 ) ( 0 - 2.3 ) = x 2 - 3.5 x + 2.76 2.76

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 0 x - 2.3 1.2 - 0 1.2 - 2.3 = x 2 - 2.3 x - 1.32

L 2 = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x 2 - x 0 ) ( x 2 - x 1 ) = ( x - 0 ) ( x - 1.2 ) ( 2.3 - 0 ) ( 2.3 - 1.2 ) = x 2 - 1.2 x 2,53

Passo 6

Substituindo os valores em p 2 x :

p 2 x = ( 0 ) L 0 + 1.5 L 1 + 5.3 L 2

p 2 x = 1.5 x 2 - 2.3 x - 1.32 + 5.3 x 2 - 1.2 x 2,53

p 2 x = - 1.5 x 2 - 2.3 x 1.32 + 5.3 x 2 - 1.2 x 2,53

Vamos fazer as contas para achar o polinômio:

p 2 x = - 1.1364 x 2 + 2.6136 x + 2.0949 x 2 - 2.5138 x

p 2 x = 0.9585 x 2 + 0.1 x

Opaaa, e não é que deu o mesmo polinômio que encontramos usando interpolação por sistema linear? Amém né?

Vamos nos poupar das contas... O resultado a partir daqui é o mesmo que vimos pelo outro método! 😊

Resposta

x ≅ 1.3933

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Verifique que na interpolação linear | E ( X ) | = (h^2 M_2)/(8) , onde h = x_1 - x_0
Dada a função f ( x ) = x e x 2 e a tabela:a) Calcular o polinômio de interpolação sobre todos os pontos; b) Calcular f 2.4 ; c) Dar um limitante superior para o erro de truncamento.
Seja a função f ( x ) dada pela tabela:Calcular f ( 0 , 5 ) usando polinômio de interpolação para argumentos igualmente espaçados.
A função y = ∫ x ∞ e - t t d t e dada pela seguinte tabela:Calcular y para x=0 , 0378 usando polinˆomio de interpolação sobre 4 pontos.
Determinar o único polinômio de grau menor ou igual a 3 , que coincide com f ( x ) nos seguintes pontos: f ( 0.5 ) =2;f ( 0.6 ) =8;f ( 0.7 ) =- 2;f ( 0.8 ) =5 Calcular também f ( 0.56 ) .