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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 12

12. Considere a tabela...

Deseja-se aproximar a função y ( x ) tabelada nos pontos distintos ( x i , y i ) para i = 1 , … , m . Podemos fazer a regressão linear de y   por x obtendo y = a x + b . Podemos também fazer a regressão linear de x   por y obtendo x = c y + d . Você espera que as retas coincidam ou não?

Passo 1

Bom! Regressão linear é simplesmente a aproximação por mínimos quadrados usando uma reta...

No caso de uma regressão de y   por x , então, temos que...

ϕ x = a x + b = c 1 x + c 2

Logo, temos os seguintes vetores...

h - 1 = ( - 2 , - 1,0 , 1,2 )

h - 2 = ( 1,1 , 1,1 , 1 )

f - = ( 6,3 , - 1,2 , 4 )

Passo 2

Agora montamos a matriz A , dada por...

A = < h - 1 , h - 1 > < h - 1 , h - 2 > < h - 2 , h - 1 > < h - 2 , h - 2 > = 10 0 0 5

E depois, o vetor b ...

A = < f - , h - 1 > < f - , h - 2 > = - 5 14

Então, temos que...

10 0 0 5 c 1 c 2 = - 5 14

c 1 = - 0.5

c 2 = 2.8

Chegando então, à seguinte reta...

ϕ x = - 0.5 x + 2.8

y = - 0.5 x + 2.8

Passo 3

Para o segundo caso, de uma regressão linear de x por y , temos que...

ϕ y = c y + d = a 1 y + a 2

Logo, temos os seguintes vetores...

h - 1 = ( 6,3 , - 1,2 , 4 )

h - 2 = ( 1,1 , 1,1 , 1 )

f - = ( - 2 , - 1,0 , 1,2 )

Montamos a matriz A , que é...

A = < h - 1 , h - 1 > < h - 1 , h - 2 > < h - 2 , h - 1 > < h - 2 , h - 2 > = 66 14 14 5

E depois, o vetor b ...

A = < f - , h - 1 > < f - , h - 2 > = - 5 0

Então, temos que...

66 14 14 5 a 1 a 2 = - 5 0

a 1 = - 0.1866

a 2 = 0.5224

Chegando assim, à seguinte reta...

ϕ y = - 0.1866 y + 0.5524

x = - 0.1866 y + 0.5524

Plotando elas em um gráfico, vemos que...

Podemos ver que elas se cruzam, mas dai a coincidir já é outra coisa! Afinal pegamos vetores diferentes em cada regressão linear!

Resposta

P r i m e i r a   r e t a :   y = - 0.5 x + 2.8

S e g u n d a   r e t a :   x = - 0.1866 y + 0.5524

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