34. Seja A = 5 7 7 13

a) Obtenha o fator de Cholesky de A

b) Encontre 3 outras matrizes triangulares inferiores, tais que A = R R T

Passo 1

a) Se liga só! A fatoração de Cholesky consiste basicamente em fazer com que a matriz A possa ser escrita como...

5 7 7 13 = a 11 0 a 21 a 22 ⋅ b 11 b 12 0 b 22

Ou seja, temos que...

a 11 ⋅ b 11 = 5

a 11 ⋅ b 12 = 7

a 21 ⋅ b 11 = 7

a 22 ⋅ b 12 + a 22 ⋅ b 22 = 13

Passo 2

Considerando que a 11 = b 11 :

a 11 = b 11 = 5

Sendo assim, temos que...

b 12 = 7 5

E também...

a 21 = 7 5

Desse modo, obtemos que...

5 7 7 13 = 5 0 7 5 4 5 ⋅ 5 7 5 0 4 5

Passo 3

b) Conforme podemos ver acima, a nossa matriz R é dada por...

R = 5 0 7 5 4 5

Essa é uma das possibilidades!

Sobre a matriz R não é imposta a condição da diagonal ser positiva! Então, outra possibilidade é que...

R = - 5 0 7 5 4 5

No fim das contas, vai dar a mesma coisa...

Resposta

a) 5 7 7 13 = 5 0 7 5 4 5 ⋅ 5 7 5 0 4 5

b)

R = - 5 0 7 5 4 5

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