Sejam A e B matrizes de ordem n . Prove que:

(‖ B^(- 1) - A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) <= c o n d (A) (‖ A - B ‖)/(‖ B ‖)

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide seja A e B matrizes de ordem n . Prove que:

(‖ B^(- 1) - A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) <= c o n d (A) (‖ A - B ‖)/(‖ B ‖)

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para provar que,

(‖ B^(- 1) - A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) <= c o n d (A) (‖ A - B ‖)/(‖ B ‖)

Dado A e B como matrizes de ordem n temos,

‖B^(- 1) - A^(- 1)‖ = ‖B^(- 1)‖ - ‖ A^(- 1) ‖

Ficando,

(‖ B^(- 1) - A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) = 1 - (‖ A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖)

c o n d (A) (‖ A - B ‖)/(‖ B ‖) = (‖ A^(- 1) - B^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖)

Logo temos que,

1 - (‖A^(- 1)‖)/(‖B^(- 1)‖) <= (‖A^(- 1)‖)/(‖B^(- 1)‖) - 1

Chegando em,

(‖ A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) <= 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

(‖ A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) <= 1

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