Enunciado

Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f ( x )   =   x 3   +   4   x , no intervalo [ 0,1 ] ,

a) por uma reta;

b) por um polinômio do 2   ° grau.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para aproximar , pelo método dos mínimos quadrados, a função f ( x )   =   x 3   +   4   x , no intervalo [ 0,1 ] ,

a) por uma reta;

b) por um polinômio do 2   ° grau.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para aproximar pelo método dos mínimos quadrados certa função composta por,

f ( x )   =   x 3   +   4   x , no intervalo [ 0,1 ]

Temos que na letra (a) para a reta temos,

f x = a 0 P 0 * x + a 1 P 1 * x

Ficando para,

P 0 * = p 0 p 0 , p 0 1 2 = 1 ∫ 1 1 d x 1 2 = 2 2

P 1 * = p 1 p 1 , p 1 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 2 d x 1 2 = 6 2 x

a 0 = f , P 0 * = ∫ - 1 1 2 2 x 3 + 4 x d x = 2 2 x 4 4 + 4 2 2 x 2 2 = 0

a 1 = f , P 1 * = ∫ - 1 1 6 2 x x 3 + 4 x d x = 6 2 x 2 2 x 4 4 + 4 x 2 2 = 6 8

Ficando,

f x = 6 8 . 6 2 x

Já na letra (b) para a equação de 2 ° grau temos,

f x = a 0 P 0 * x + a 1 P 1 * x + a 2 P 2 *

Ficando para,

P 0 * = p 0 p 0 , p 0 1 2 = 1 ∫ 1 1 d x 1 2 = 2 2

P 1 * = p 1 p 1 , p 1 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 2 d x 1 2 = 6 2 x

P 2 * = p 2 p 2 , p 2 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 3 d x 1 2 = 8 2 x 2

a 0 = f , P 0 * = ∫ - 1 1 2 2 x 3 + 4 x d x = 2 2 x 4 4 + 4 2 2 x 2 2 = 0

a 1 = f , P 1 * = ∫ - 1 1 6 2 x x 3 + 4 x d x = 6 2 x 2 2 x 4 4 + 4 x 2 2 = 6 8

a 2 = f , P 2 * = ∫ - 1 1 8 2 x 2 x 3 + 4 x d x = 8 6

Ficando,

f x = 6 8 . 6 2 x + 8 6 . 8 2 x 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f x = 6 8 . 6 2 x

b) f x = 6 8 . 6 2 x + 8 6 . 8 2 x 2

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Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f x = x 2 - 3 x + 4 2 ,x ∈ 0,1 ; a) por uma reta;b) por um polinômio do 2° grau.
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