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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 9

9. Construa a tabela de diferenças divididas com os dados

a) Estime o valor de f ( 1.23 ) da melhor maneira possível, de forma que se possa estimar o erro cometido.

b) Justifique o grau do polinômio que você escolheu para o item (a)

Passo 1

E ai meu bom!

Se liga só! Vamos construir a tabela de diferenças divididas pros dados do enunciado...

Logo, o polinômio interpolador vai ser de grau 5 , dado por...

p 5 x = d 0 + d 1 x - x 0 + d 2 x - x 0 x - x 1 + d 3 x - x 0 x - x 1 x - x 2 + d 4 ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) + d 5 ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) ( x - x 4 )

Passo 2

E então, temos que...

d 0 = - 2 . 78

d 1 = 1 . 078

d 2 = 0 . 104

d 3 = 0.55067

d 4 = 0

d 5 = - 0,000268

De modo que obtemos o seguinte polinômio interpolador...

p 5 x = d 0 + d 1 x - x 0 + d 2 x - x 0 x - x 1 + d 3 x - x 0 x - x 1 x - x 2 + d 4 ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) + d 5 ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) ( x - x 4 )

p 5 x = - 2.78 + 1.078 x - 0 + 0.104 x - 0 x - 0.5 + 0.55067 x - 0 x - 0.5 x - 1 + 0 x - 0 x - 0.5 x - 1 x - 1.5 - 0,000268 x - 0 x - 0.5 x - 1 x - 1.5 x - 2

p 5 x = - 2.78 + 1.078 x + 0.104 x x - 0.5 + 0.55067 x x - 0.5 x - 1 - 0,000268 ( x ) ( x - 0.5 ) ( x - 1 ) ( x - 1.5 ) ( x - 2 )

Fazendo as contas:

p 5 x = - 2.78 + 1.078 x + 0.104 x 2 - 0.5 x + 0.55067 x 3 - 1.5 x 2 + 0.5 x - 0,000268 x 5 - 5 x 4 + 8.75 x 3 - 6.25 x 2 + 1.5 x

p 5 x = - 2.78 + 1.078 x + 0.104 x 2 - 0.052 x + 0.55067 x 3 - 0.826005 x 2 + 0.275335 x - 0,000268 x 5 + 0.00134 x 4 - 0.002345 x 3 + 0.001675 x 2 - 0.000402 x

p 5 x = - 0,000268 x 5 + 0.00134 x 4 + 0.548325 x 3 - 0.72033 x 2 + 1.300933 x - 2.78

Substituindo x = 1.23 obtemos que...

f 1.23 = p 5 1.23 ≈ - 1.247

Para calcular o erro da interpolação, precisaríamos saber qual é a f ( x ) original.... Como não sabemos, não tem como estimar esse erro ☹

Passo 3

b) Nessa letra aqui não há muito o que dizer né!?

A própria tabela das diferenças divididas nos mostrou que o polinômio de melhor grau é o de grau 5 , pois temos 6 pontos e só conseguimos chegar na ordem 5.

Resposta

a)

f 1.23 = - 1.247

b)

T a b e l a   d a s   d i f e r e n ç a s   d i v i d i d a s

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Consideremos o problema de interpolação para sen(x), numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo h, usando um polinômio de 2º grau. Fazendo x 0 =- h ,x 1 = 0 ,x 2 = h , mostre que: | E (
Sabendo-se que a equação x - e - x = 0 admite uma raiz no intervalo (0, 1), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. Estime o erro cometido, se possível. Justifique!
14. Seja p n ( x ) o polinômio de grau ≤ n que interpola f ( x ) em x 0 , x 1 ,... x n escrito na forma de Newton.a) Escreva um algoritmo para avaliar p n ( x - ) , x - ∈ [ x 0 , x n ] semelhante ao a
Seja f ( x )=7 x 5 -3 x 2 -1 . a) Calcular f ( x ) nos pontos x=0 ;x = ± 1 ;x = ± 2 ;x = ± 3 (usar o algoritmo de Briot-Ruffini). Construir a seguir a tabela segundo os valores crescentes de x ; b) Co