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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 7

Sabendo-se que a equação x - e - x = 0 admite uma raiz no intervalo (0, 1), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. Estime o erro cometido, se possível. Justifique!

Passo 1

Vamos começar montando uma tabela com alguns pontos:

O que vamos fazer agora é escrever x como função de y e não mais y como função de x. Ficamos com:

Assim nós não precisamos encontrar o zero do polinômio interpolador. Podemos jogar o zero direto no que vamos encontrar! Agora é só seguirmos o passo a passo de sempre.

Como ele quer uma função de interpolação quadrática, precisamos de 3 pontos.

Vamos usar y 0 =   - 1 ,   y 1 =   - 0.1065 e y 2 = 0.6321 . Além disso para estimarmos a incerteza precisamos de um quarto ponto para obtermos um operador diferenças divididas de ordem 4. Vamos usar então o y 3 = 1.2769 . A tabela fica:

Passo 2

Da tabela tiramos que:

d 0 = 0

d 1 = 0.5596

d 2 = 0.0719

Substituindo no polinômio:

p 2 ( y ) = d 0 + d 1 ( y - y 0 ) + d 2 ( y - y 0 ) ( y - y 1 )

p 2 ( y ) = 0.5596 ( y + 1 ) + 0.0719 ( y + 1 ) ( y + 0.1065 )

p 2 ( y ) = 0.0719 y 2 + 0.639157 y + 0.567257

Substituindo y=0:

p 2 ( 0 ) = 0.5673

Passo 3

Agora, para estimar o erro usamos a fórmula:

E ( y ) ≈ | ( y - y 0 ) ( y - y 1 ) ( y - y 2 ) | m a x ( | d 3 | )

E ( 0 ) = 0.2154 × 1 0 - 4

Resposta

x = 0.5673

E ( 0 ) = 0.2154 × 1 0 - 4

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Sabendo-se que a equação x 4 + 6 x 2 - 1=0 tem uma raiz em [ 0,1 ] , determinar o valor aproximado dessa raiz usando polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos.
Dada a tabela:a) Calcular 1,035 por meio de um polinômio de interpolação de grau adequado. b) Dar uma estimativa para o erro de truncamento.
Seja a função tabelada:a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton; b) Calcular f ( 0.5 ) .
Considerando a função f ( x ) = x tabelada:a) Determinar o valor aproximado de 1,12 usando polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos.b) Calcular um limitante superior para o erro.
Dada a função tabelada:a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton sobre 2 pontos (interpolação linear). b) Determinar o polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos (interpolação quadrá