Enunciado

Consideremos o problema de interpolação para sen(x), numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo h, usando um polinômio de 2º grau. Fazendo x 0 =   - h ,   x 1 = 0 ,   x 2 = h , mostre que:

| E ( X ) | ≤ 3 27 h 3

Passo 1

Bom gente, temos o seguinte:

E ( x ) ≤ | ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) | M n + 1 ( n + 1 ) !

A gente aqui ta usando um polinômio interpolador de segundo grau, então, a gente tem n = 2 , e vamos precisar da derivada terceira de sen(x):

f ( x ) = s e n ( x )

f ' ( x ) = c o s ( x )

f ' ' ( x ) =   - s e n ( x )

f ' ' ' ( x ) =   - c o s ( x )

Temos o valor máximo que | - c o s ( x ) | pode assumir em [-h, h] que é 1. Então, vamos substituir M 3 = 1 , e o valores de x 0 ,   x 1 e x 2 dados:

E ( x ) ≤ | ( x + h ) ( x ) ( x - h ) | 1 3 ! = | x ( x 2 - h 2 ) | 6 = | x 3 - h 2 x | 6

Passo 2

Se E ( x ) é sempre menor que | x 3 - h 2 x | 6 , então, se acharmos o máximo do polinômio | x 3 - h 2 x | , então teremos um máximo geral para o erro.

O máximo de | x 3 - h 2 x | é um ponto crítico de x 3 - h 2 x , então:

( x 3 - h 2 x ) ' = 0

3 x 2 - h 2 = 0

x 2 = h 2 3

x =   ± h 3

Substituindo esse valores na função:

h 3 3 - h 2 h 3 = - h 3 3 - h 2 - h 3 = 2 h 3 3 3

Logo,

m a x x ∈ [ - h , h ] | x 3 - h 2 x | = 2 h 2 3 3

Substituindo, temos:

E ( x ) ≤ 2 h 3 3 3 × 1 6 = h 3 9 3 = 3 27 h 3

Passo 3

Repare que aquela informação dos pontos serem igualmente espaçados era só pra

te enganar mesmo. Se usasse a fórmula você ia chegar em:

E ( x ) ≤ h 3 12

Resposta

E ( x ) ≤ 3 27 h 3

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