Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 6

Consideremos o problema de interpolação para sen(x), numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo h, usando um polinômio de 2º grau. Fazendo x 0 =   - h ,   x 1 = 0 ,   x 2 = h , mostre que:

| E ( X ) | ≤ 3 27 h 3

Passo 1

Bom gente, temos o seguinte:

E ( x ) ≤ | ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) | M n + 1 ( n + 1 ) !

A gente aqui ta usando um polinômio interpolador de segundo grau, então, a gente tem n = 2 , e vamos precisar da derivada terceira de sen(x):

f ( x ) = s e n ( x )

f ' ( x ) = c o s ( x )

f ' ' ( x ) =   - s e n ( x )

f ' ' ' ( x ) =   - c o s ( x )

Temos o valor máximo que | - c o s ( x ) | pode assumir em [-h, h] que é 1. Então, vamos substituir M 3 = 1 , e o valores de x 0 ,   x 1 e x 2 dados:

E ( x ) ≤ | ( x + h ) ( x ) ( x - h ) | 1 3 ! = | x ( x 2 - h 2 ) | 6 = | x 3 - h 2 x | 6

Passo 2

Se E ( x ) é sempre menor que | x 3 - h 2 x | 6 , então, se acharmos o máximo do polinômio | x 3 - h 2 x | , então teremos um máximo geral para o erro.

O máximo de | x 3 - h 2 x | é um ponto crítico de x 3 - h 2 x , então:

( x 3 - h 2 x ) ' = 0

3 x 2 - h 2 = 0

x 2 = h 2 3

x =   ± h 3

Substituindo esse valores na função:

h 3 3 - h 2 h 3 = - h 3 3 - h 2 - h 3 = 2 h 3 3 3

Logo,

m a x x ∈ [ - h , h ] | x 3 - h 2 x | = 2 h 2 3 3

Substituindo, temos:

E ( x ) ≤ 2 h 3 3 3 × 1 6 = h 3 9 3 = 3 27 h 3

Passo 3

Repare que aquela informação dos pontos serem igualmente espaçados era só pra

te enganar mesmo. Se usasse a fórmula você ia chegar em:

E ( x ) ≤ h 3 12

Resposta

E ( x ) ≤ 3 27 h 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo-se que a equação x - e - x = 0 admite uma raiz no intervalo (0, 1), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. Estime o erro cometido, se possível. Justifique!
9. Construa a tabela de diferenças divididas com os dadosa) Estime o valor de f ( 1.23 ) da melhor maneira possível, de forma que se possa estimar o erro cometido.b) Justifique o grau do polinômio que
14. Seja p n ( x ) o polinômio de grau ≤ n que interpola f ( x ) em x 0 , x 1 ,... x n escrito na forma de Newton.a) Escreva um algoritmo para avaliar p n ( x - ) , x - ∈ [ x 0 , x n ] semelhante ao a
Seja f ( x )=7 x 5 -3 x 2 -1 . a) Calcular f ( x ) nos pontos x=0 ;x = ± 1 ;x = ± 2 ;x = ± 3 (usar o algoritmo de Briot-Ruffini). Construir a seguir a tabela segundo os valores crescentes de x ; b) Co
Um polinômio P n ( x ) , de grau n, coincide com f ( x ) = e x nos pontos 0 n , 1 n ,… , n - 1 n , n n . Qual o menor valor de n que se deve tomar a fim de que se tenha: e x - P n x ≤ 10 - 6 ,p a r a0