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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 9c

Usando o método de Newton, com erro inferior a 10 − 2 , determinar uma raiz das seguintes equações:

d) 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥 − 𝑒 𝑥

Passo 1

Opa! Tudo certo? O exercício pede para usarmos o método de Newton para encontrar uma raiz aproximada da função fornecida. O método de newton é dado por:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

Passo 2

Precisamos chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0   em um intervalo 𝑎 , 𝑏 .

Chutando o intervalo − 3 , − 3.5 :

𝑓 − 3 = − 𝑠 𝑒 𝑛 3 − 1 𝑒 3 = − 0.190907

𝑓 − 3.5 = − 𝑠 𝑒 𝑛 3.5 − 𝑒 − 3.5 = 0.320586

Logo existe raiz no intervalo 𝑎 , 𝑏 pois um valor deu positivo e o outro negativo.

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método de Newton, considerando que a derivada da função é dada por 𝑓 ′ 𝑥 = c o s c o s       𝑥 − 𝑒 𝑥 e considerando 𝑥 0 = − 3   :

𝑥 1   =   − 3 − 𝑠 𝑒 𝑛 − 3 − 𝑒 − 3 c o s c o s   − 3   − 𝑒 − 3 = − 3.1836

𝑥 2   =   − 3.1836 − 𝑠 𝑒 𝑛 − 3.1836 − 𝑒 − 3.1836 c o s c o s   − 3.1836   − 𝑒 − 3.1836 = − 3.18306

Para finalizar vamos encontrar o erro relativo e verificar se é menor que 10 − 2

:

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 =   𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 2 = − 3.18306 − − 3.1836 − 3.18306 = 0.000169648   < 10 − 2

Logo encontramos a raiz que satisfaz o limite de erro estipulado pelo exercício! É isso, acabamos!

Resposta

A raiz aproximada é − 3.18306   .

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