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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 8

Considere a equação dada no exemplo 3.9. Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Usando (3.5) confirme que a ordem de convergência do método de newton é quadrática, isto é, p = 2.

Passo 1

Salve, colega! Tudo certo? Esse exercício exige que você esteja com seu livro aí, então se não estiver, corre lá e pega que eu espero!

Vamos utilizar o método de newton para obter uma raiz positiva para a equação 4 c o s c o s   𝑥   − 𝑒 𝑥 = 0 . Lembre-se que o método de newton é expresso da seguinte forma:

𝑥 𝑘 + 1 =   𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

Passo 2

Primeiramente vamos chutar um intervalo e verificar se a condição 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0  

é atendida, pois ela nos garante a existência de raiz.

Chutando o intervalo 0,1 :

𝑓 0 =   4 c o s c o s   0   − 𝑒 0 = 3   > 0

𝑓 1 =   4 c o s c o s   1   − 𝑒 1 = − 0.55707 …   < 0

Logo existe raiz nesse intervalo!Vamos aproveitar e já verificar que 𝑓 ′ 𝑥   𝑒   𝑓 ′ ′ 𝑥   𝑠 ã 𝑜   𝑐 𝑜 𝑛 𝑡 í 𝑛 𝑢 𝑎 𝑠   𝑒 𝑚   0,1   𝑒   ≠   0 :

𝑓 ′ 𝑥 =   − 4 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 − 𝑒 𝑥   →   𝑐 𝑜 𝑛 𝑡 í 𝑛 𝑢 𝑎   𝑒   𝑑 𝑖 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑡 𝑒   𝑑 𝑒   𝑧 𝑒 𝑟 𝑜

𝑓 ′ ′ 𝑥 =   − 4 c o s c o s   𝑥   − 𝑒 𝑥   →   𝑐 𝑜 𝑛 𝑡 í 𝑛 𝑢 𝑎   𝑒   𝑑 𝑖 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑡 𝑒   𝑑 𝑒   𝑧 𝑒 𝑟 𝑜

Passo 3

Agora iremos determinar um valor inicial 𝑥 0   , considerando a seguinte regrinha:

𝑥 0   =   𝑎   𝑠 𝑒   𝑓 𝑎   ∈   𝑎 , 𝑏

𝑥 0   =   𝑏   𝑐 𝑎 𝑠 𝑜   𝑐 𝑜 𝑛 𝑡 𝑟 á 𝑟 𝑖 𝑜  

Teremos que calcular 𝑓 𝑎   →   𝑓 0 :

𝑓 0 = 4 c o s c o s   0   − 𝑒 0 = 3   ∄   𝑒 𝑚   0,1

Dessa forma, iremos escolher 𝑏   =   1   como 𝑥 0   .

Passo 4

Realizando iterações com o método de newton até encontrarmos a raiz com 4 casas precisas:

𝑥 1 = 1 − 𝑓 1 𝑓 ′ 1 = 1 − − 0.55707 − 6.0416 = 0.9084392915

𝑥 2 = 0.9084392915 − 𝑓 0.9084392915 𝑓 ′ 0.9084392915 = 0.904795745

𝑥 3 = 0.904795745 − 𝑓 0.904795745 𝑓 ′ 0.904795745 = 0,9047886233

Com 4 casas decimais a raiz aproximada é 0,9047   .

Passo 5

Por fim vamos calcular a ordem de convergência que dever ser igual a 𝑝 = 2   e é dada por:

𝑝 ≈ l o g l o g   𝑒 𝑘 + 1 𝑒 𝑘   l o g l o g   𝑒 𝑘 𝑒 𝑘 − 1  

Fazendo as substituições, lembre-se que 𝑒   é dado por 𝑒 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 _ :

Ficaremos com:

𝑝 ≈ l o g l o g   0.0000071217 0.0036435465   l o g l o g   0.0036435465 0.091560785   = 1.93470 …

𝑝 ≈ 2  

Boa! Você é um guerreiro de ter chegado até aqui!

Resposta

A raiz aproximada é 0.9047   , 𝑝   é aproximadamente igual a 2.

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