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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 14

Determinar h de modo que a regra 3 8 de Simpson forneça o valor de

Com erro inferior a 0.5 × 10 − 3 .

Passo 1

Oie! Tudo certinho? Neste exercício, iremos analisar o erro da regra 3 8 de Simpson, que pode ser calculado de acordo com a seguinte expressão:

𝑒   =   − 3 80 h 5 𝑓 𝑖 𝑣 𝑡 ,   𝑡   ∈   𝑎 , 𝑏

Onde o intervalo   𝑎 , 𝑏 é o intervalo de integração, h é o passo (que queremos achar) e 𝑓 𝑖 𝑣 𝑡

é a quarta derivada da função aplicada no ponto do intervalo que maximiza seu valor. Com isso, podemos calcular o valor de h.

Passo 2

Sabendo que queremos um erro inferior a 0.5   × 10 − 3 , podemos fazer o seguinte:

0.5   × 10 − 3   ≥ − 3 80 h 5 𝑓 𝑖 𝑣 𝑡

Para encontrar o valor de h, será necessário, primeiramente, calcular a derivada quarta de 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥   , que é igual a 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥   (coincidência, não?). Agora vamos testar qual ponto do intervalo maximiza seu valor:

𝑠 𝑒 𝑛 0.2 = 0.1986 …   𝑒   𝑠 𝑒 𝑛 0.8 = 0.7173 ...

Logo, achamos o valor da derivada quarta da função, maximizado, que é 0.7173   .

Com isso, ficamos com:

0.5 ×   10 − 3 ≥ − 3 80 h 5 0.7173

Efetuando os cálculos a gente encontra que, em módulo, h   ≅   0.45   para que o erro desejado seja atingido.

Resposta

h   ≅   0.45   .

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