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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 16a

Determinar uma raiz de cada uma das equações:

a) 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 = 0

Usando o método regula falsi.

Passo 1

Eaí! Tudo bem?? Vamos aplicar o método regula falsi (ou método da falsa posição) para achar a raiz aproximada da função fornecida no enunciado. Lembre-se que precisamos achar o intervalo em que a raiz se encontra, considerando 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0 .

Passo 2

Chutando o intervalo − 3 , − 2.9 (Para encontrar uma aproximação do intervalo, sugiro analisar a função graficamente ao invés de ficar chutando diversos valores):

𝑓 − 3 = 𝑠 𝑒 𝑛 − 3 + 3 𝑒 − 3 = 0.0970252489   >   0

𝑓 − 3 = 𝑠 𝑒 𝑛 − 2.9 + 2.9 𝑒 − 2.9 = − 0.079682 <   0

Achamos o intervalo! Agora só precisamos usar o método regula falsi para fazer as iterações.

Passo 3

Aplicando o método regula falsi no intervalo 𝑎 , 𝑏 encontrado:

𝑥 𝑘 = 𝑎 × 𝑓 𝑏 − 𝑏 × 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 ,   𝑎 =   − 3   𝑒   𝑏 =   − 2.9

Substituindo, obtemos:

𝑥 1 = − 3 − 0.079682 − − 2.9 0.0970252489 − 0.079682 − 0.0970252489 = − 2.94509

Calculando 𝑓 − 2.94509

para substituir no intervalo, iremos obter como resultado:

𝑓 − 2.94509 = − 0.0403366

Como 𝑓 − 2.94509 < 0 , o novo intervalo será 𝑎 ,   𝑥 1 visto que 𝑓 𝑏 < 0 também, lembre-se que o antigo intervalo era 𝑎 , 𝑏 .

Com isso, o novo intervalo é − 3 , − 2.94509 .

Continuando as iterações:

𝑥 2 = − 3 − 0.0403366 − − 2.94509 0.0970252489 − 0.0403366 − 0.0970252489 = − 2.96121

Encontramos uma aproximação de raiz, vamos ver qual é o erro para sabermos se é uma boa aproximação:

𝑒 = 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 2 = − 2.96121 − − 2.94509 − 2.96121 ≈ 0.005   <   10 − 2

Acho que o erro está baixo e está de boa parar por aqui!

Resposta

Raiz aproximada 𝑥 _ = − 2.96121 .

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