Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de:

Com erro inferior a 0.5   × 10 − 6 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza? Neste exercício, já iremos começar a trabalhar um pouquinho com erros nos métodos de integração. Especificamente nesta questão, iremos usar a formulinha para o erro da regra do trapézio, que vai nos auxiliar a encontrar o melhor passo (h) para alcançar a precisão desejada no valor da integral. Podemos achar o erro da seguinte forma:

𝐸 𝑡 ≤ h 3 12 𝑓 ′ ′ 𝑥  

O erro total é menor ou igual que o passo ao cubo dividido por doze, multiplicado pela derivada segunda da função presente na integral aplicada ao ponto que maximiza seu valor.Com isso, podemos partir para os cálculos.

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas de 𝑒 − 𝑥 2 :

𝑓 ′   =   − 2 𝑥 𝑒 − 𝑥 2

𝑓 ′ ′   =   − 2 𝑒 − 𝑥 2 − 2 𝑥 2 𝑒 − 𝑥 2

Aplicando no intervalo de integração 0,1 , vamos descobrir que o valor máximo da derivada segunda é quando x = 1, onde obtemos aproximadamente 0.73575 . Bora finalizar calculando o h, já que temos tudo o que precisamos:

0.5 × 10 − 6 ≤ h 12 0.73575

Desta relação tiramos que:

h 𝑚 𝑖 𝑛 ≥ 8 × 10 − 6

Com um passo pequeno como este, pode ter certeza de que o valor da integral vai ser muito preciso, assim como o exercício pediu. Até o próximo!

Resposta

h 𝑚 𝑖 𝑛 ≥ 8 × 10 − 6 .

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