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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 9b

Usando o método de Newton, com erro inferior a 10 − 2 , determinar uma raiz das seguintes equações:

b) 5 x 3 + x 2 - 12 x + 4 = 0

Passo 1

Opa, coleguinha! Tudo certo? O exercício pede para usarmos o método de Newton para encontrar uma raiz aproximada da função fornecida. Você lembra como é o método de Newton? Vamos refrescar a memória:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

Passo 2

Precisamos chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0   em um intervalo 𝑎 , 𝑏 .

Chutando o intervalo 1,2 :

𝑓 1 =   5 ( 1 ) 3 + ( 1 ) 2 - 12 ( 1 ) + 4   =   - 2   <   0

𝑓 2 =   5 ( 2 ) 3 + ( 2 ) 2 - 12 ( 2 ) + 4   = 24   >   0

Logo existe raiz no intervalo 𝑎 , 𝑏 .

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método de Newton, considerando que a derivada da função é dada por 𝑓 ′ 𝑥 =   15 x 2 + 2 x - 12   e considerando 𝑥 0 = 1 :

𝑥 1 = 1 − 𝑓 1 𝑓 ′ 1 = 1 − 5 ( 1 ) 3 + 1 2 - 12 + 4 15 ( 1 ) 2 + 2 ( 1 ) - 12 = 1.4

𝑥 2 = 1.4 − 𝑓 1.4 𝑓 ′ 1.4 = 1.2574

𝑥 3 = 1.2574 − 𝑓 1.2574 𝑓 ′ 1.2574 = 1.2270

𝑥 4 = 1.2270 − 𝑓 1.2270 𝑓 ′ 1.2270 = 1.2256

Para finalizar vamos encontrar o erro relativo e verificar se é menor que 10 − 2 :

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 =   𝑥 4   −   𝑥 3 𝑥 4 = 1.2256 − 1.2270 1.2256 = 0.00114   …   <   10 − 2

Logo encontramos a raiz que satisfaz o limite de erro estipulado pelo exercício! É isso, respira que acabou aqui!

Resposta

𝑥 _   ≈ 1.2256

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