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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 7

A equação x 2 - b = 0 tem como raiz ξ = b . Considere o MPF com φ ( x ) = b x :

  1. Comprove que φ ' ( ξ ) =   - 1 ;
  2. o que acontece com a sequência { x k } tal que x k + 1 = φ ( x k ) ?
  3. sua conclusão do item ( b ) pode ser generalizada para qualquer equação f ( x ) = 0 que tenha | φ ' ( ξ ) | = 1 ?

Passo 1

A gente sabe que :

φ ( x ) = b x

Derivando essa função, vamos ter:

φ ' ( x ) =   - b x 2

φ ' ( ξ ) = - b b 2 =   - 1

Passo 2

Vamos tomar um x 0 = 1.5 .

x 1 = b 1.5

x 2 = b b 1.5 = 1.5

x 3 = b 1.5

x 4 = b b 1.5 = 1.5

E assim em diante...

Podemos verificar que essa sequência será sempre oscilante entre apenas dois valores, para x 0   ≠   0   e   x 0   ≠   1 !

Passo 3

Não é, podemos ver isso a partir da seguinte f ( x ) :

f ( x ) = x + e x s i n ( x ) 2 = 0

Nesse caso, podemos ter:

x + s i n ( x ) 2 = 0

x =   s i n ( x )

φ ( x ) =   s i n ( x )

φ ' ( x ) =   c o s ( x )

Para ξ = 0 :

φ ' ( 0 ) = 1

Analisando o valor de φ, podemos ver que:

x 0 = 3 π 2

x 1 = s i n ( 3 π 2 ) =   - 1

x 2 =   - 0.84147098

Podemos ver que esse valor não oscila em torno da raíz, que fica em 0.

Resposta

Ver resolução

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iterações indicadas:Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
9. Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:a) mostre que ξ - x kM 1 - M x k - x k - 1 ;b) para que valores de M teremos então que ξ - x kε se x k - x k -