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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 9

9. Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:

a) mostre que ξ - x k < M 1 - M x k - x k - 1 ;

b) para que valores de M teremos então que ξ - x k < ε se x k - x k - 1 < ε ?

Passo 1

a) E aí galerinha! Presta atenção! Essa questão tá parecendo um bicho de sete cabeças, né!?

Mas se liga só! A gente sabe que ξ - x k pode ser escrita como:

ξ - x k = ξ - x k + 1 - x k + x k + 1

E sabendo também que...

x k = φ ( x k - 1 )

E que...

φ ξ = ξ

Substituindo todas essas relações, chegamos à...

x k - ξ < x k - x k + 1 + x k + 1 - ξ ≤ M x k - x k - 1 + M | x k - ξ |

Portanto podemos afirmar sem sobra de dúvidas que...

1 - M x k - ξ < M x k - x k - 1

E sendo 1 - M > 0 , dividindo tudo por 1 - M , chegamos até a relação procurada...

ξ - x k < M 1 - M x k - x k - 1

Passo 2

b) Ora bolas! Para essa letra, nós já sabemos que...

ξ - x k < ε

E também do item anterior...

ξ - x k < M 1 - M x k - x k - 1

O que a gente quer é provar que a igualdade abaixo pode ser satisfeita...

x k - x k - 1 < ξ

E para que isso aconteça, é preciso que...

M 1 - M x k - x k - 1 < x k - x k - 1 < ε

M 1 - M x k - x k - 1 < x k - x k - 1

M 1 - M < 1

M < 1 - M

2 M < 1

M < 1 2

E assim, finalmente chegamos à nossa resposta! Essa é a condição necessária para a relação do enunciado ser satisfeita!

Resposta

a) ξ - x k < M 1 - M x k - x k - 1

b) M < 1 2  

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iterações indicadas:Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
A equação x 2 - b = 0 tem como raiz ξ = b . Considere o MPF com φ ( x ) = b x : Comprove que φ ' ( ξ ) =- 1 ; o que acontece com a sequência { x k } tal que x k + 1 = φ ( x k ) ? sua conclusão do item