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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 33

33. Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoração de Cholesky:

Passo 1

a) Bora lá! Temos a seguinte matriz pro nosso sistema:

16 4 8 4 4 10 8 4 8 8 12 10 4 4 10 12 32 2 6 38 3 0

Dividindo a primeira linha por 16 :

1 1 4 1 2 1 4 4 10 8 4 8 8 12 10 4 4 10 12 22 26 38 30

Passo 2

Agora, é uma questão de fazer as permutações...

1 1 4 1 2 1 4 4 10 8 4 8 8 12 10 4 4 10 12 2 26 38 30 L 2 → L 2 - 4 L 1 L 3 → L 3 - 8 L 1 L 4 → L 4 - 4 L 1 → 1 1 4 1 2 1 4 0 9 6 3 0 6 8 8 0 3 8 11 2 18 22 22

1 1 4 1 2 1 4 0 9 6 3 0 6 8 8 0 3 8 11 2 18 22 22 L 2 → L 2 9 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 6 8 8 0 3 8 11 2 2 22 22

1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 6 8 8 0 3 8 11 2 2 22 22 L 3 → L 3 - 6 L 2 L 4 → L 4 - 3 L 2 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 4 6 0 0 6 10 2 2 10 16

1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 4 6 0 0 6 10 2 2 10 16 L 3 → L 3 4 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 3 2 0 0 6 10 2 2 5 2 16

1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 3 2 0 0 6 10 2 2 5 2 16 L 4 → L 4 - 6 L 3 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 3 2 0 0 0 1 2 2 5 2 1

1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 3 2 0 0 0 1 2 2 5 2 1 L 3 → L 3 - 3 2 L 4 L 2 → L 2 - 1 3 L 4 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 1 1

1 1 4 1 2 1 4 0 1 2 3 1 3 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 1 1 L 1 → L 1 - 1 4 L 1 L 2 → L 2 - 2 3 L 2 → 1 1 4 1 2 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1

1 1 4 1 2 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 L 1 → L 1 - 1 2 L 3 → 1 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 4 1 1 1

1 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 4 1 1 1 L 1 → L 1 - 1 4 L 2 → 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Obtemos então, a seguinte solução...

x * = 1 1 1 1 T

Passo 3

b) Para essa letra, temos a seguinte matriz:

20 7 9 7 3 0 8 9 8 30 16 38 38

Vamos a resolução...

20 7 9 7 30 8 9 8 30 16 38 38 L 1 → L 1 20 → 1 7 20 9 20 7 30 8 9 8 30 4 5 38 38 L 2 → L 2 - 7 L 1 L 3 → L 3 - 9 L 1 → 1 7 20 9 20 0 551 20 97 20 0 97 20 519 20 4 5 162 5 154 5

1 7 20 9 20 0 551 20 97 20 0 97 20 519 20 4 5 162 5 154 5 L 2 → L 2 551 20 → 1 7 20 9 20 0 1 97 551 0 0 13828 551 4 5 648 551 13828 551

1 7 20 9 20 0 1 97 551 0 0 13828 551 4 5 648 551 13828 551 L 3 → L 3 13828 551 → 1 7 20 9 20 0 1 97 551 0 0 1 4 5 648 551 1

1 7 20 9 20 0 1 97 551 0 0 1 4 5 648 551 1 L 2 → L 2 - 97 551 L 3 → 1 7 20 9 20 0 1 0 0 0 1 4 5 1 1

1 7 20 9 20 0 1 0 0 0 1 4 5 1 1 L 1 → L 1 - 9 20 L 3 → 1 7 20 0 0 1 0 0 0 1 7 20 1 1 L 1 → L 1 - 7 20 L 2 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Chegamos então, à seguinte solução...

x * = ( 0 1 1 ) T

Resposta

a)

x * = 1 1 1 1 T

b)

x * = ( 0 1 1 ) T

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