Enunciado

Justifique se for verdadeira ou dê contra-exemplo se for falsa a afirmação:

“Dada uma matriz A, n × n , sua fatoração L U , obtida com estratégia de pivoteamento parcial, é tal que todos os elementos da matriz L tem módulo menor ou igual a 1.”

Passo 1

Fala galerinha, tudo certinho?

Bom, esse exercício é beeeeeeeeem teórico, então vamos pensar com calma aqui.

Temos que analisar algumas coisitas! A matriz L é dada por:

1 0 ⋯ 0 0 m 21 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ m n - 1 1 m n - 1 2 ⋯ 1 0 m n 1 m n 2 ⋯ m n n - 1 1

Basicamente ela é uma matriz onde temos uma diagonal principal unitária e a triangular superior nula. A triangular inferior são os multiplicadores de Gauss formados por:

m i j = a i j p ; i > j

onde p é o pivô da linha j . Como estamos usando a estratégia de pivoteamento parcial, o pivô de uma linha, se comparado com todos os números abaixo dele na coluna, será sempre maior em módulo, e isso é garantido pelo pivoteamento.

A divisão a i j p terá sempre seu módulo menor ou igual a 1 . Logo, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Afimativa verdadeira.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva um algoritmo para a resolução de um sistema linear triangular inferior.
Verifique que o "custo" • número de operações efetuadas para resolver um sistema linear triangular inferior é o mesmo que para multiplicar uma matriz triangular por um vetor
Trabalhando com quatro dígitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte que não há solução). Use o pivoteamento parcial. Estabeleça um critério para decidir se números pequeno
15. Seja resolver o sistema linear A x = b pelo método de eliminação de Gauss, com estratégia de pivoteamento parcial:se M = max i , j ⁡ { | a i j | } 1 ≤ i , j ≤ n , prove que após o primeiro estágio