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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 24

Seja E = C [ 0,1 ] , com f , g = ∫ 0 1 f x g x d x . Seja k 2 ( x ) o subespaço dos polinômios de grau ≤ 2 . O conjunto Q 0 x = 3 ,   Q 1 x = x - 3 ,   Q 2 x = x 2 - x constitui uma base de k 2 ( x ) . Determinar a projeção ortogonal de f x = 1 x 2 sobre k 2 x .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Seja E = C [ 0,1 ] , com f , g = ∫ 0 1 f x g x d x . Seja k 2 ( x ) o subespaço dos polinômios de grau ≤ 2 . O conjunto Q 0 x = 3 ,   Q 1 x = x - 3 ,   Q 2 x = x 2 - x constitui uma base de k 2 ( x ) . Determinar a projeção ortogonal de f x = 1 x 2 sobre k 2 x .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então nessa questão ele pede para determinar a projeção ortogonal de,

f x = 1 x 4   s o b r e   k 2 ( x )

Dado:

Q 0 x = 3 ,   Q 1 x = x - 3 ,   Q 2 x = x 2 - x

Com,

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

Ficando,

∫ 0 1 3   . x - 3 . x 2 - x d x →   ∫ 0 1 3 x - 9 . x 2 - x d x

∫ 0 1 3 x 3 - 3 x 2 - 9 x 2 + 9 x   d x

Logo temos,

∫ 0 1 3 x 3 - 12 x 2 + 9 x   d x → 3 x 4 4 - 12 x 3 3 + 9 x 2 2 ​ 0 1

Ficando,

3 4 - 12 3 + 9 2 = 5 4

Logo vamos ter que,

f x = 1 x 4 → f x = 1 5 4 4 = 256 625

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

f x = 256 625

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