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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 12

Seja a tabela:

E seja p n ( x ) o polinômio que interpola f ( x ) em - 1,0 , 1,3 . Imponha condições sobre a , b , c , d para que se tenha n = 2 .

Passo 1

Faaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

O exercício nos fornece 4 valores diferentes de x ( a , b , c , d ) . Então temos uma coluna x e f ( x ) , onde podemos montar a tabela:

E é com esse conjunto de pontos que vamos montar o polinômio de grau 2 e grau 3 (já que temos 3 nós, n + 1 ) , mas para simplificar vamos montar o polinômio de grau 2:

p 2 x = α 0 + α 1 x + α 2 x 2

Então, bora lá resolver!

Passo 2

Podemos encontrar o valor de f ( x ) de várias maneiras possíveis. Podemos montar o polinômio interpolador aplicando na fórmula de p 2 aplicando nos pontos dados:

p 2 - 1 = α 0 + α 1 - 1 + α 2 - 1 2 = a

p 2 0 = α 0 + α 1 0 + α 2 0 2 = b

p 2 2 = α 0 + α 1 1 + α 2 1 2 = c

Com isso conseguimos montar um sistema matricial:

1 - 1 ( - 1 ) 2 1 0 0 2 1 1 1 2 α 0 α 1 α 2 = a b c

Onde resolveremos esse sistema e encontraremos o resultado.

Passo 3

Podemos montar um sistema com a seguinte cara:

I   α 0 + α 1 - 1 + α 2 - 1 2 I I α 0 + α 1 0 + α 2 0 2 ( I I I ) α 0 + a 1 1 + α 2 1 2 = = = a b c

Resolvendo I I teremos:

α 0 = b

Podemos substituir b em outros cálculos :

I   α 0 + α 1 - 1 + α 2 = b

b - a 1 + a 2 = b

- a 1 + a 2 = 0

a 1 = a 2

Substituindo na fórmula do polinômio temos:

p 2 x = b + α 1 ( x ) + α 2 ( x )

Se:

a 1 = a 2

p 2 x = 2 α 1 ( x ) + b

Resposta

p 2 x = 2 α 1 ( x ) + b

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