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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 8

Com que grau de precisão podemos calcular 115 usando interpolação sobre os pontos: x 0 = 100 , x 1 = 121 e x 2 = 144 ?

Passo 1

Faaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

O que temos aqui é uam função x onde nesse caso x = 115 . O exercício nos fornece 3 valores diferentes de x ( 100 ,   121 ,   144 ) . Então temos uma coluna x e f ( x ) , onde podemos montar a tabela:

E é com esse conjunto de pontos que vamos montar o polinômio de grau 2 (já que temos 3 nós, n + 1 ) :

p 2 x = α 0 + α 1 x + α 2 x 2

Então, bora lá resolver!

Passo 2

Podemos encontrar o valor de f ( x ) de várias maneiras possíveis. Podemos montar o polinômio interpolador aplicando na fórmula de p 2 aplicando nos pontos dados:

p 2 100 = α 0 + α 1 100 + α 2 100 2 = 10

p 2 1 21 = α 0 + α 1 1 21 + α 2 1 21 2 = 11

p 2 1 44 = α 0 + α 1 1 44 + α 2 1 44 2 = 1 2

Com isso conseguimos montar um sistema matricial:

1 100 100 2 1 121 121 2 1 144 144 2 α 0 α 1 α 2 = 10 11 12

Onde resolveremos esse sistema e encontraremos o resultado.

Maaaaaaaas, existe uma forma mais simples de resolver essa parada!

Passo 3

Vamos interpolar do modo mais simples, usando a calculadora científica. Aperte o botão MODE+REG3+LIN1.

Agora você vai inserir os conjuntos de pontos da tabela:

O modo de inserir os pontos na calculadora é ( v a l o r   d e   x ,   v a l o r   d e   y ) e M + , inserir todos os valores até chegar em n=3.

A calculadora vai juntar os pontos, você aperta s h i f t + 2   e aperte a seta até chegar em A e B, onde construímos a equação:

p 2 x = 5,4735 + 0,04542 x

Qual o valor para x = 115 :

p 2 115 = 5,4735 + 115.0,04542 = 10,6868

Passo 4

O valor real de 115 = 10,7238 , o erro será a diferença absoluta que será dada por:

E R % = V a l o r   r e a l - V a l o r   e s t i m a d o V a l o r   r e a l = 10,7238 - 10,6868 10,7238 * 100

E R = 0,25 %

Isso significa que nosa precisão será 100 - E R = 99,75 %

Resposta

Valor estimado 10,6868 e Precisão 99,75 %  

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