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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 6

Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limitante de erro para mostrar que o limitante do erro relativo de u = 3 x y é menor que o de v = (x + x + x) y.

Passo 1

Primeiros vamos chamar de E R a r o erro relativo ao arredondamento.

A gente vai usar essa fórmula daqui:

E R x × y = E R x + E R y

Passo 2

Então, primeiro a gente começa aplicando a fórmula vista no passo 1 aqui para achar E R u , que é o erro relativo de u .

u = 3 × x _   y _

E R x _   y _ = E R x _ + E R   y _ + E R a r = E R a r + E R a r + E R a r = 3 E R a r

E R 3 x _   y _ = E R 3 + E R x _   y _ + E R a r = 0 + 3 E R a r + E R a r = 4 E R a r

| E R 3 × x _   y _ | < 4 1 2 × 1 0 - t + 1

| E R u | < 2 × 1 0 - t + 1

Passo 3

Nessa parte aqui, gente vai usar essa fórmula daqui:

E R x + y = E R x ( x _ x _ + y _ ) + E R y ( y _ x _ + y _ )

Sabemos que v = ( x _ + x _ + x _ ) y _ , para calcular então o valor do erro relativo de v vamos chamar w = x _ + x _ + x _ e vamos aplicar aquela fórmulinha:

E R x _ = E R a r

E R x _ + x _ = E R x _ ( x _ x _ + x _ ) + E R x _ ( x _ x _ + x _ ) + E R a r = 1 2 E R a r + E R a r 1 2 + E A a r = 2 E R a r

E R w = E R x _ ( x _ x _ + x _ + x _ ) + E R x _ + x _ ( x _ + x _ x _ + x _ + x _ ) + E R a r = 1 3 E R a r + 2 3 × 2 E R a r + E R a r = 8 3 E R a r

Agora podemos chamar v = w × y _ , e calcular o erro com a mesma fórmula do erro para multiplicação!

E R v = E R w + E R y _ + E R a r = 8 3 E R a r + E R a r + E R a r = 14 3 E R a r

Agora a gente precisa achar um limitante para o valor de E R w , mas daí fica fácil, porque | E R a r | < 1 2 1 0 - t + 1 , então a gente pode fazer assim...

| E R w | = 14 3 | E R a r | < 14 3 1 2 1 0 - t + 1 = 7 3 1 0 - t + 1

| E R w | < 7 3 1 0 - t + 1

Resposta

| E R u | < 2 × 1 0 - t + 1

| E R w | < 7 3 1 0 - t + 1

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