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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 8

É interessante observar que a adição em aritmética de ponto flutuante nem sempre é associativa. Prova-se que dados n números xl' x2, ... , xn representados exatamente, o limite do erro total devido ao arredondamento na soma S = x1 + x2 + ... xn é:

| E A s |   ≤   [ ( n - 1 ) x 1 + ( n - 1 ) x 2 + ( n - 2 ) x 3 + . . . + 2 x n - 1 + x n ] × 1 2 × 1 0 - t + 1

  1. Faça n = 5 e prove que esta relação é verdadeira.
  2. Analise cuidadosamente a expressão acima e verifique que, dados n números, o erro total será menor se forem ordenados em ordem crescente antes de serem somados.

Passo 1

letra a:

Vamos começar fazendo essa soma na ordem mais natural!

E A x 1 + x 2 = E A x 1 + E A x 2 + E A O P = E A x 1 + E A x 2 + 1 0 - t + 1 2 ( x 1 + x 2 )

E A x 1 + x 2 + x 3 = E A x 1 + x 2 + E A x 3 + E A O P = E A x 1 + E A x 2 + 1 0 - t + 1 2 ( x 1 + x 2 ) + E A x 3 + 1 0 - t + 1 2 ( x 1 + x 2 + x 3 ) =

= E A x 1 + E A x 2 + E A x 3 + 1 0 - t + 1 2 ( 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 )

E A x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = E A x 1 + x 2 + x 3 + E A x 4 + E A O P

= E A x 1 + E A x 2 + E A x 3 + 1 0 - t + 1 2 ( 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 ) + E A x 4 + 1 0 - t + 1 2 ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) =

= E A x 1 + E A x 2 + E A x 3 + E A x 4 + 1 0 - t + 1 2 ( 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 )

E A x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = E A x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + E A x 5 + E A O P

= E A x 1 + E A x 2 + E A x 3 + E A x 4 + 1 0 - t + 1 2 ( 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 ) + E A x 5 + 1 0 - t + 1 2 ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) =

= E A x 1 + E A x 2 + E A x 3 + E A x 4 + E A x 5 + 1 0 - t + 1 2 ( 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 + x 5 )

Como os números são representados exatamente, E A x 1 = E A x 2 = E A x 3 = E A x 4 = E A x 5 = 0 .

Daí a gente tira que,

| E A s |   ≤ 1 0 - t + 1 2 ( 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 + x 5 ) =   [ ( n - 1 ) x 1 + ( n - 1 ) x 2 + ( n - 2 ) x 3 + . . . + 2 x n - 1 + x n ] × 1 2 × 1 0 - t + 1

, para n=5.

Passo 2

Da equação

| E A s |   ≤   [ ( n - 1 ) x 1 + ( n - 1 ) x 2 + ( n - 2 ) x 3 + . . . + 2 x n - 1 + x n ] × 1 2 × 1 0 - t + 1

A gente pode verificar que os primeiros dois termos a serem somados têm seus valores multiplicados pelo número de operações que no caso seria n - 1 .

Os que são somados a seguir vão tendo esse termo multiplicativo subtraído de um em um até que atingem o valor de 1 no x n .

Se tivéssemos os números x 1 = 1 ,   x 2 = 2 ,   x 3 = 3 , o resultado ficaria assim:

| E A x 1 + x 2 + x 3 |   ≤   1 0 - t + 1 2 ( 2 + 4 + 3 ) = 4.5 × 1 0 - t + 1

Podemos observar que somando na ordem ( 3 + 2 ) + 1 :

| E A x 3 + x 2 + x 1 |   ≤   1 0 - t + 1 2 ( 2 × 3 + 2 × 2 + 1 ) = 5.5 × 1 0 - t + 1

Evidenciando a falta da associatividade.

Resposta

  1. | E A s |   ≤ 1 0 - t + 1 2 ( 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 + x 5 )
  2. | E A x 1 + x 2 + x 3 |   ≠   | E A x 3 + x 2 + x 1 |
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