Exercícios de Erros - Lista de Exercícios Resolvida

Usando um sistema de aritmética de ponto flutuante de dígitos que utiliza arredondamento, faça os cálculos abaixo. Em seguida, calcule o erro absoluto e relativo de cada operação com pelo menos dígitos.

Considere uma máquina com sistema de representação de números definido por: base , precisão de dígitos na mantissa e expoente no intervalo: . Pede-se:

Qual o menor e o maior número em módulo representáveis nesta máquina?

Como será representado o número nesta máquina se for usado o arredondamento? E o truncamento?

Se e qual o resultado de se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?

Considerando a letra acima, qual o resultado da operação , considerando que está sendo realizado o truncamento?

Repetir o item , para a operação .

Seja uma máquina de base decimal com aritmética de ponto flutuante normalizado com dígitos para a mantissa e dígito para a característica. Para calcular a média aritmética dos números e nesta máquina é mais conveniente calcular ou ? Justifique.

Um computador armazena números reais em binário utilizando para o sinal do número, para o expoente e para a mantissa. Admitindo que haja truncamento, quais os erros absoluto e relativo ao se tentar nele representar os números:

Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: , , e . Pede-se:

Se e qual o resultado de ?

Qual o resultado da soma

nesta máquina?

Idem para a soma:

Seja um sistema em aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: 𝑥 = 0,7237 × 104 , 𝑦 = 0,2145 × 10−3 , 𝑧 = 0,2585 × 101 .Efetue as seguintes operações, considere arredondamento e calcule o erro envolvido.

(a)

(b)

(c)

d)

Consideremos o valor exato e aproximado de um determinado número.

1. Calcule o Erro Absoluto e Erro Relativo para os valores dados acima.
2. Consideremos o valor exato e valor aproximado

O número pode ser definido por

onde para e . Calcule o erro absoluto e relativo das seguintes aproximações de :

Encontre o maior intervalo para no qual deve estar para aproximar com erro relativo de no máximo para cada favor de .

Supondo que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina de base decimal com dígitos na mantissa e tomando e calcule usando arredondamento:

Analisando e o que se pode concluir em relação à propriedade associativa da adição em aritmética de ponto flutuante?

2. Considerando uma máquina com expoentes limitados F(10, 4, −5, 5) e as entradas a = 4245, b = 300 e c = 100.

(a) Qual o resultado obtido na máquina F para X = (a × b)/c e Y = a × (b/c)?

(b) Os resultados de X e Y foram iguais? Houve algum tipo de erro numérico durante os cálculos? Exemplifique.

Um estudante resolveu calcular o comprimento do pneu de um veículo utilizando uma máquina F(10,4,-9,9). Ele utilizou uma régua para medir o raio do pneu, chegando a um valor de r = 14,3 cm. Nesse contexto:

a) Qual o valor do comprimento do pneu retornado pela calculadora, considerando C = (2π)r?

b) Explique e exemplifique dois erros numéricos que ocorreram durante o processo do cálculo.

Considere a seguinte função

e determine:

o grau para que o erro da aproximação em torno de seja

menor do que . A fórmula geral do erro de Lagrange é dada por:

onde . Dica: investigue qual o grau adequado do polinômio a partir de valores .

Um estudante resolveu calcular o comprimento do pneu de um veículo utilizando uma máquina F(10,4,-9,9). Ele utilizou uma régua para medir o raio do pneu, chegando a um valor de r = 14,3 cm. Nesse contexto:

a) Qual o valor do comprimento do pneu retornado pela calculadora, considerando C = (2π)r?

b) Explique e exemplifique dois erros numéricos que ocorreram durante o processo do cálculo.

2. Considere uma máquina com representação de números dada por um sistema de ponto flutuante , i.e., com dígitos na mantissa e expoente no intervalo . A máquina utiliza arredondamento.

(a) Calcule o resultado da seguinte operação: na máquina especificada.

(b) O que ocorre com o resultado?

(c) Sugira uma forma de evitar o problema ocorrido nas operações de aritmética de ponto flutuante e refaça os seus cálculos.