Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 7
Verifique de alguma forma que, se tem representação finita na base 2 com k dígitos, ou seja, , então sua representação na base 10 é também finita com k dígitos.
Passo 1
Então, galera, sabemos que:
passando pra decimal a gente teria que resolver isso aqui:
Passo 2
Agora se a gente olhar direitinho a gente consegue reescrever tudo isso na forma de somatório, assim:
mas a gente sabe também que .
vamos reescrever agora, cada termo do somatório no mesmo formato…
mas pera aí…
Passo 3
A gente precisa provar que :
Então vamo lá:
- Provar que é a mesma coisa que provar que pode ser dividido por 10 (por exemplo), ou seja:
(ou seja, )
dividindo dos dois lados por 5, a gente vai chegar em:
Agora fica fácil!
Provar que é a mesma coisa que provar que não vai dividir uma potência de . Mas como e são números primos, a gente já pode ter certeza de que não existe nenhum fator de , então já tá provado, UFA!
Passo 4
Sabendo de tudo isso, quem vai ditar o número de casas decimais do (quando ) vai ser o que tem sempre casas decimais, já que como , esse termo nunca vai ser (o que poderia reduzir o número de casas decimais).
Agora só precisamos provar que não terá nenhum dígito do lado esquerdo da vírgula.
Em primeiro lugar a gente sabe que,
que é o caso em que todos os .
Agora, a gente pode pegar algum valor para ser maior que esse somatório, que poderia ser o limite de quando o k vai para infinito!
A gente pode lembrar da fórmula do somatório da PG infinita!
Perfeito!
Como:
Então, esse , ou seja, sempre vai ser !
Sabendo de tudo isso, podemos afirmar que o número de casas dígitos após a vírgula vai ser igual a no sistema decimal!
Resposta
Veja a prova no passo-a-passo.