Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios complementares - Ex. 44
Sejam C = (1, 0) e D = (0, 1). Usando o método de Newton para sistemas não lineares determine
o valor de um ponto P = (x, y), com precisão de 10−3, que diste 2 unidades de C e de D, obtendo os
valores iniciais necessários através de gráfico.
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
Bem, a questão não te fornece as questões, mas ela te fornece uma forma de obter as questões. Basicamente, ela quer encontrar um ponto genérico na qual esteja com uma distância de duas unidades simultaneamente dos pontos e .
Então poderemos utilizar a formula de distancia de dois pontos para obtermos as equações não lineares, a equação da distância de dois pontos é dada por:
Questão nos informa uma precisão de e fala que para encontrar a melhor estimativa inicial o ideal é plotar um gráfico para encontrar.
Agora a resolução, temos que os métodos para resolução de questões de equações não lineares são métodos iterativos, “o que é isso né?”
Um método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de Newton.
Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duas variáveis é o seguinte:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton
- Calcular as derivadas parciais
- Calcular os determinantes das matrizes
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Vamos definir aqui que o critério de convergência é
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, vamos obter as equações não lineares. Não dá para resolver o problema sem as equações né?
Bem, temos que calcular a distância de dois pontos entre o ponto
E a distância entre o ponto
E como a questão informa, ambas as distâncias precisam ser iguais a duas unidades.
Sendo assim os nossos sistemas de equação se torna:
Agora precisamos encontrar a estimativa inicial, como a questão sugere a melhor forma é plotando os gráficos para que se possa obter algum valor inicial para a melhor estimativa.
Plotando o gráfico da equação , temos que:
Analisando o gráfico, conseguimos notar que parece ser uma estimativa inicial muito boa. Pois, a raiz de uma das equações está em .
Agora precisamos calcular as derivadas e para isso vamos utilizar as derivadas parciais:
Agora que temos todas as informações, vamos procurar a solução com o método de Newton.
Passo 3
Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a estimativa fornecida pelo gráfico, uma vez que já calculamos as derivadas, vamos apenas seguir o roteiro.
Partindo o mesmo passo a passo, temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
- Quarto passo:
- Quinto Passo:
Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo são as raízes.
Grandinho né? Mas relaxa, sei que você vai conseguir. E ae, oque achou? Responde Ai, vlwwwwwwww e até mais.