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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 19

O sistema não linear:

Possui uma raiz próxima a 0.8,1.2 . Usando o método iterativo linear determine essa raiz com precisão de 10 − 1 .

Passo 1

Eaí coleguinha! Vamos utilizar o método iterativo linear para resolver este sistema de equações não lineares, sendo que o mesmo segue a seguinte ideia:

Teremos que transformar as equações do sistema e isolar x em uma e y na outra.

Passo 2

Fazendo as transformações ficaremos com as seguintes equações:

𝑥 = − 𝑥 𝑦 2 + 2

𝑦 = 3 𝑦 3 − 4

Agora vamos realizar as iterações em cada uma e encontrar o valor aproximado da solução do sistema.

Realizando as iterações:

𝑥 1 = 𝑓 𝑥 0 , 𝑦 0 = − 0.8 1.2 2 + 2 = 0.920869

𝑦 1 = 𝑔 𝑥 0 , 𝑦 0 = 3 1.184 3 − 4 = 1.184

Como visualmente a solução para x está um pouco distante do valor inicial (0.8), vou fazer mais uma iteração em x apenas e calcular o erro, mas antes vamos analisar se o erro em y é menor que 10 − 1 :

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 𝑦 = 𝑦 1 − 𝑦 0 𝑦 1 = 1.184 − 1.2 1.184 ≈ 0.01 < 10 − 1  

O erro em y está de acordo com o que o exercício pede! Agora vamos para a próxima iteração em x:

𝑥 2 = 𝑓 𝑥 1 , 𝑦 1 = − 0.0920869 1.184 2 + 2 = 0.842065

Por fim calculando o erro em x:

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 2 = 0.842065 − 0.920869 0.842065 ≈ 0.09 < 10 − 1

Com isso, a solução aproximada do sistema com erro inferior a 10 − 1

foi encontrada!

Resposta

𝑥 1 ≈ 0.842065  

𝑦 1 ≈ 1.184  

Exercícios de Livros Relacionados

A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Determinar uma raiz de cada uma das equações:a) 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 = 0 Usando o método regula falsi.
Considere a equação 𝑥 − c o s c o s𝑥= 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .
Determinar uma raiz de cada uma das equações:a) c o s𝑥= 𝑒 𝑥 Usando o método regula falsi.