Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 20
Usando o método de Newton determine, com precisão de , uma raiz para cada um dos seguintes sistemas não lineares.
Passo 1
E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
Bem, a questão te fornece vários sistemas de equações de duas variáveis e te informa tanto a estimativa inicial quanto o critério de convergência para encontrar a solução.
Aí vem a pergunta, “Preciso fazer oque?”
Basicamente precisamos encontrar as soluções dos sistemas partindo de uma estimativa inicial que por sorte já foi dado na própria questão, que em geral é a parte mais complicada.
O método de resolução é o método de newton que foi adaptado para sistemas de equação não linear e a melhor forma de resolver questão de cálculo numérico é memorizar um roteirozinho de cálculo para sempre utilizar para nunca se perder nas contas.
O roteiro de cálculo é sempre o mesmo, precisamos realizar os passos abaixo seguidamente até encontrar o valor das soluções que corresponde a:
Portanto:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton
- Calcular as derivadas parciais
- Calcular os determinantes das matrizes
- Quinto passo: Calcular o incremento
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Vamos definir aqui que o critério de convergência é que dado por
Agora que temos o roteiro, vamos na pratica ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Vamos resolver o sistema i) e que dado pelo seguinte conjunto de equações:
Agora precisamos calcular as derivadas para o método de newton, gerando as seguintes equações:
Agora que temos as derivadas parciais, vamos utilizar o roteiro que vimos anteriormente para encontrar as raízes.
Então, vamos utilizar a primeira estimativa:
Vamos lá então.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
- Quarto passo:
- Quinto Passo:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- . Logo temos que essas não são as raízes.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
- Quarto passo:
- Quinto Passo:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- . Logo temos que essas não são as raízes.
Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:
Repetindo o passo de newton mais 4 vezes podemos chegar nos seguintes valores de , sendo assim:
Onde temos os seguintes valores das funções:
Que ambos são menores que o critério de convergência e essa é a solução do nosso problema.
Passo 2
Agora vamos de a mesma forma resolver a segunda equação:
Calculando as derivadas, temos:
Calculando o determinante jacobiano temos que:
Portanto, esse sistema não pode ser resolvido pelo método de newton.
Passo 3
Agora vamos resolver o ultimo sistema de equações não lineares que é dado por:
Para o método de newton vamos calcular as derivadas:
Agora que temos as derivadas poderemos começar o método de newton.
Então, vamos utilizar a primeira estimativa:
Vamos lá então.
Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:
Repetindo o passo de newton mais vezes podemos chegar nos seguintes valores de , sendo assim:
Onde temos os seguintes valores das funções:
Que ambos são menores que o critério de convergência e essa é a solução do nosso problema.
Grandinho né? Trabalhoso? Mas rlx, você vai conseguir. Sacou tudinho? Responde Aí e até a próxima.
Resposta
Todas as questões foram devidamente respondidas nos passos anteriores